Darf man im Beweis das nutzen, was man gerade beweist?

Question

Wir hatten den folgenden Beweis in der Vorlesung, welcher zeigen soll, dass für einen V Vektorraum über K gilt:

a ∈ K: a * 0 = 0

Beweis:

a * 0 

= a * (0*v)       | Das 0 = 0 * v gilt wurde vorher bewiesen

= (a*0) * v       | Anwendung des Assoziativgesetzes macht auch Sinn

= 0 * v             | Aber hier nutzen wir ja das, was wir beweisen wollen und zwar dass gilt a*0 = 0. (!!!)

= 0.

Bewiesen.

Bei der markierten Zeile (!!!) habe ich das Problem. Darf man wirklich nutzen dass a * 0 = 0 ist, wenn man gerade dabei ist zu beweisen, dass a * 0 = 0 ist?

Also der Beweis ist ja an sich einfach, aber das stört mich.

Comments

Du solltest nicht dieselbe 0 verwenden für den Nullvektor und der Null des Körpers. Das sollte dich stören.

---

a*0 = 0. (!!!)

Das ist die Multiplikation des Körpers. Nicht die Skalarmultiplikation des Vektorraums

Answer 1

Da hast selbstverständlich recht. Die starke Verkürzung des Beweises macht nicht erkennbar, dass es eigentlich (a·0)=(a·0)·v an dieser Stelle heißt, was ja (nur oder insbesondere?) für a·0=0 wahr ist.

Comments

Da hast selbstverständlich recht.

Nein, hast du nicht, denn du hast 0 ≠ 0  nicht berücksichtigt.