Frage aus Interesse. Wie beweist man: n^2 + n ist gerade (d.h. durch 2 teilbar)?

Question

Hallo :) 

mich interessiere auch in der Mathematik die Beweise :)

und wie würde man das hier beweisen?: 

1) n² + n ist gerade (d.h. durch 2 teilbar). 

Würde man es dann mit der Induktion machen? 

 

Wie gesagt ich frage aus Interesse und über ein Rechenweg wäre ich  froh:) um zusehen, wie sowas ein Beweisverfahren überhaupt aussieht:)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass ∀n ∈ N n2+n durch zwei teilbar ist.

Stichworte: vollständige-induktion

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass ∀n ∈ N n²+n durch zwei teilbar ist.

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2014 wurde diese Frage schon beantwortet.

Answer 1

Hi Emre :-)

 

Vollständige Induktion:

Verankerung

Der Satz gilt für n = 0, denn 0² + 0 = 0 | 0 ist gerade

Annahme

Der Satz gelte für n

n² + n ist gerade

Induktionsschritt

Dann soll der Satz auch für (n + 1) gelten.

(n + 1)² + (n + 1) =

n² + 2n + 1 + n + 1 =

(n² + n) + (2n + 2) =

(n² + n) + 2 * (n + 1)

Der erste Summand ist laut Annahme gerade. Der zweite Summand ist wegen "2 *" auch gerade.

Damit gilt der Satz für alle n ≥ 0, n ∈ ℕ

 

Alles klar?

 

Lieben Gruß

Andreas

Comments

Hi Andreas :) 

wow echt cool sowas :) 

Dann soll der Satz auch für (n + 1) gelten.

(n + 1)² + (n + 1) =

n² + 2n + 1 + n + 1 =

(n² + n) + (2n + 2) =

(n² + n) + 2 * (n + 1) 

 

Also (n+1)² ist doch das hier oder: n²+2n+1 ? Und (n+1) ist einfach n+1? 

Aber was Du dann gemacht hast, verstehe Ich nicht mehr :(

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Hi Emre,

 

(n + 1)² = n² + 2n + 1 | 1. Binomische Formel, richtig!

(n + 1) = n + 1 | Wir konnten ja dann alle Klammern weglassen, da wir nur positive Summanden hatten.

Dann habe ich

n² + 2n + 1 + n + 1 einfach umgruppiert:

(n² + n) + 2n + 1 + 1

und "das Rote" umgeschrieben in

2 * (n + 1)

Das Blaue ist ja nach unserer Annahme gerade, braucht also nicht noch einmal überprüft zu werden.

Und das Rote muss natürlich gerade sein, weil 2 multipliziert mit einer natürlichen Zahl per Definition gerade ist.

Und: Gerade + gerade = gerade.

 

Klaro?

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Dazu musst du vielleicht erstmal das Prinzip der vollständigen Induktion verstehen. Wenn du die 1 in einen Koffer packst, und du in den Koffer, für jede Zahl n, die er zu irgendeiner Zeit enthält, noch die (n+1)-te Zahl hinein tust, wieviele Zahlen enthält er? Die Antwort ist: Alle natürlichen Zahlen, beginnend von der 1. Ist z.B. die 1 im Koffer, muss auch die (1+1)-te Zahl, also die 2 enthalten sein. Ist die 2 enthalten, muss auch die (2+1)-te Zahl, also die 3 enthalten sein usw.

Genauso funktioniert es mit der vollständigen Induktion: Wir zeigen, dass die Behauptung für eine natürliche Zahl gilt. Dann zeigen wir, dass, wenn sie für eine beliebige natürliche Zahl n gilt, auch für die (n+1)-te Zahl gilt. Wenn man das gezeigt hat, dann gilt sie für alle natürlichen Zahlen.

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@Thilo87:

Sehr gut erklärt - danke!!

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@Andreas: Verstehe, !
@Thilo: Danke für die tolle Erklärung!!

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@Emre:

Super!

Die Vollständige Induktion ist wirklich 'ne feine Sache :-)

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Ja, das ist echt fein :)
ich habe auch ein paar Übungsaufgaben in meinem Buch dazu :)
wenn ich ein paar machen würde, würdest du es dann korriegen? bzw. mir helfen, wenn ich irgendwo nicht weiter komme? :)

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Welch eine Frage :-D

Wenn ich kann, natürlich gerne!

Answer 2

Hi Emre,

ob man hier auch ohne Induktion randürfte?! Ich würde das so machen.

 

n^2+n = n(n+1)

 

Wir haben also ein Produkt aus einer Zahl und ihrem Nachfolger. Es muss also einer der beiden Zahlen eine gerade Zahl sein. Somit ist das Produkt auf jeden Fall durch 2 teilbar.

 

Und schon fertig :D.

 

Grüße

Comments

@Unknown:

"KuKu" - Kurz und kool :-DD

Däumelinchen!

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Müsste es dann nicht "Kuhl" sein? :D


Danke ;)

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Yep, das merke ich mir :-D

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Auch nicht schlecht xD

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@Unknown:
tut mir leid für mein verspätetes Kommentar, bin fast eingeschlafen ^^.
Wie kannnnssstt duuu das immmerrrr??????? OOOOOOOOOOooooooooooo

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Bei meinen grauen Haaren bleibt auch mal was hängen :P.

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hahaha
mano ich will das auch immer so beweisen können :(

Answer 3

Welche Eigenschaften haben gerade und ungerade Zahlen? Gerade Zahlen sind durch 2 teilbar, ungerade nicht. Also kann man gerade Zahlen in der Form 2*m schreiben, z.B. 6 = 2*3 (m=3), 14 = 2*7 (m=7). Und ungerade Zahlen kann man in der Form 2*m + 1 schreiben, z.B. 7 = 2*3 + 1 (m=3), 15 = 2*7 + 1 (m=7).

Alle natürlichen Zahlen lassen sich in gerade und ungerade Zahlen einordnen.

Wir machen eine Fallunterscheidung:

a) n ist gerade. Dann kann man n als 2m schreiben, also n = 2m. Jetzt bleibt zu zeigen, dass n^2 + n = (2m)^2 + 2m gerade ist. Es ist (2m)^2 + 2m = 4m^2 + 2m = 2*(2m^2 + m). Das ist ja offensichtlich durch 2 teilbar, denn würdest du das in den Zähler schreiben und in den Nenner die 2, könntest du sie einfach wegkürzen und 2m^2 + 2 bleibt eine natürliche Zahl.

b) n ist ungerade. Dann kann man n als 2m + 1 schreiben, also n = 2m + 1. Wieder muss man zeigen, dass jetzt n^2 + n = (2m+1)^2 + (2m+1) gerade ist. Es ist (2m+1)^2 + (2m+1) = 4m^2 + 4m + 1 + 2m + 1 = 4m^2 + 6m + 2 = 2*(2m^2 + 3m + 1) natürlich auch wieder durch 2 teilbar, d.h. gerade.

Da wir alle natürlichen Zahlen in ungerade und gerade Zahlen einteilen können und wir die Richtigkeit der Aussage für beide Fälle gezeigt haben, wobei wir auch allgemeine Zahlen und keine bestimmten Zahlen verwendet haben, gilt das für alle natürlichen Zahlen. Damit ist die Behauptung bewiesen.

Comments

Jetzt versuche mal mit ähnlichen Mitteln zu beweisen:

Das Produkt aus zwei geraden natürlichen Zahlen m, n ist immer durch 4 teilbar.

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Hi Thilo :)
echt cool sowas beweisen zu  können :)
Danke:)

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bin neu hier im Forum und deshalb hier ein mathematischer Gruß von mir an alle :D

∀User ∈ Mathelounge : ∃ Gruß ∈ Menge Meiner besten Grüße

:)

Nun zu der Aufgabe von Thilo:

m = 2x

n = 2y

m * n = 2x * 2y = 4*(xy)

Also ist 4*(xy) offensichtlich durch 4 teilbar. Deshalb gilt die Aussage.

Beweis per vollständiger Induktion:

Wenn wir die Aussage per vollständiger Induktion beweisen wollen, müssen wir doch den Beweis zwei mal ausführen, einmal für m und einmal für n, denn die beiden Variablen sind ja unabhängig voneinander, oder?

Mein Versuch zu vollständiger Induktion für die Variable m:

Induktionsanfang:

Induktionsvoraussetzung:

Für eine gerade Zahl m >= 0 gelte: 4 | m * n mit n eine gerade Zahl.

m := 2x

n:= 2y

Behauptung: Die Aussage gilt für m = 0

Beweis: m * n = 0 * n = 0

0 teilt jede Zahl, insbesondere auch die 4. Deshalb gilt die Aussage für m = 0.

Induktionsschritt:

Induktionsbehauptung:

Dann gilt die Aussage auch für m + 2.

Beweis:

(m + 2) * n = (2x + 2) * n = 2x * n + 2 * n = 2x * 2y + 2 * 2y = 4xy + 4y = 4 * (xy+y)

Die Gleichung ist offensichtlich durch 4 teilbar. Also gilt die Aussage auch für m+2.

Ist der Beweis so richtig?

Ich habe aber nirgends die Induktionsvoraussetzung in meinem Beweis verwendet – geht das?

Liebe Grüße

Asg

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Hi Asg,

bin grad verhindert und hab nur schnell reingeschaut. Aber:

Am besten stellst Du Deine Frage als eigenständige Frage mit Link/Verweis auf diese Frage. Diese Antwort ist schon über drei Jahre alt und das Mitglied nicht mehr aktiv ;).

Grüße

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Guten Morgen Unknown :)

danke für den Hinweis - habe meine Frage hier neu gestellt.

Asg