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Aufgabe:

Untersuchen Sie für welche x aus R die folgende Reihe konvergiert:

k=1(1)k · (4k+1) · x2k4k \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k} · (4 k+1) · x^{2 k}}{4^{k}}


Als Lösung sollte 2,-2 herauskommen.

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Meinst du damit, dass das Intervall  (-2,2) rauskommt?

für welche x aus R  sind kaum nur 2 Werte.

Nach meinem Verständnis sollten nur -2 und 2 als Werte rauskommen.

Ich habe das ganze ausmultipliziert und dann in zwei Summen zerlegt.

Auf -2, 2 für x komme ich aber nicht.
In der Frage wird doch nach dem Konvergenzbereich gefragt vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzbereich und nicht nach der Summe.

1 Antwort

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Nach dem Quotientenkriterium konvergiert eine Reihe dann, wenn gilt:an+1anq<1\left| \frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } } \right| \le q<1also:ak+1ak=(1)k+1(4(k+1)+1)x2(k+1)4k+1(1)k(4k+1)x2k4k\left| \frac { { a }_{ k+1 } }{ { a }_{ k } } \right| =\left| \frac { \frac { { (-1)^{ k+1 }*(4(k+1)+1)*{ x }^{ 2(k+1) } } }{ { 4 }^{ k+1 } } }{ \frac { { (-1)^{ k }*(4k+1)*{ x }^{ 2k } } }{ { 4 }^{ k } } } \right|=(1)k+1(4(k+1)+1)x2(k+1)4k+14k(1)k(4k+1)x2k=\left| \frac { (-1)^{ k+1 }*(4(k+1)+1)*{ x }^{ 2(k+1) } }{ { 4 }^{ k+1 } } *\frac { { 4 }^{ k } }{ (-1)^{ k }*(4k+1)*{ x }^{ 2k } } \right|=(1)(4(k+1)+1)x2414k+1=\left| \frac { (-1)*(4(k+1)+1)*{ x }^{ 2 } }{ { 4 } } *\frac { 1 }{ 4k+1 } \right|=(4(k+1)+1)x24(4k+1)<1=\frac { (4(k+1)+1)*{ x }^{ 2 } }{ 4*(4k+1) } <1x2<16k+44k+5=16+4k4+5k\Leftrightarrow { x }^{ 2 }<\frac { 16k+4 }{ 4k+5 } =\frac { 16+\frac { 4 }{ k } }{ 4+\frac { 5 }{ k } }Für k->∞ ergibt sich: x2<4{ x }^{ 2 }<4x<2\Leftrightarrow |x|<2
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