Skalarprodukt umformen- Differenzieren in R^m

Question

Aufgabe:

Differenziere folgende Abbildung h: ℝ^m -> ℝ, x↦<Ax,x> mit A∈ℝ^mxm

Problem/Ansatz:

Ich möchte dies zeigen mithilfe g(x+h)= g(x)+B(x)h + r(x,h)|h| wobei lim_h→0r(x,h)=0 und B eine Matrix ist.

Diesen Teil habe ich gelöst bekommen: <Ax,x> + <Ax,h> + <Ah,x>= g(x)+B(x)h

Nur weiß ich nicht, wie ich den letzten Teil, <Ah,h>=r(x,h)|h| zeigen soll.

Kann mir hier bitte jemand auf die Sprünge helfen?

Ich danke euch schonmal:)

Answer 1

Wir haben
\(\begin{aligned}   g( \mathbf{x}  + \mathbf{h})   &= \left\langle \mathbf{A}( \mathbf{x} + \mathbf{h}) , \mathbf{x} + \mathbf{h}\right\rangle   \\   &= \left\langle \mathbf{A}\mathbf{x}, \mathbf{x}\right\rangle   + \left\langle \mathbf{A}\mathbf{h}, \mathbf{x}\right\rangle   + \left\langle \mathbf{A}\mathbf{x}, \mathbf{h}\right\rangle   + \left\langle \mathbf{A}\mathbf{h}, \mathbf{h}\right\rangle   \\   &= g( \mathbf{x}) + \underbrace{(  \mathbf{x}^{\mathsf{T}}\mathbf{A}+  \mathbf{x}^{\mathsf{T}}\mathbf{A}^{\mathsf{T}})\mathbf{h}}_{\mathrm{D}g(\mathbf{x})[ \mathbf{h}] }  + \underbrace{ \left\langle \mathbf{A}\mathbf{h}, \mathbf{h}\right\rangle }_{o( \left\| \mathbf{h}\right\|_{2} ) } \end{aligned}\)
und somit \( \mathrm{D}g(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^{\mathsf{T}}( \mathbf{A} + \mathbf{A}^{\mathsf{T}}) \).

Dass
\( \left\langle \mathbf{A}\mathbf{h}, \mathbf{h}\right\rangle \in o( \left\| \mathbf{h}\right\|_{2} ) \) gilt, folgt aus
\(\begin{aligned}   \lim_{\mathbf{h} \to 0} \frac{ \left\langle \mathbf{A}\mathbf{h}, \mathbf{h}\right\rangle }{ \left\| \mathbf{h}\right\|_{2} }   =\lim_{\mathbf{h} \to 0}  \left\langle \mathbf{A}\mathbf{h}, \frac{ \mathbf{h}}{ \left\| \mathbf{h}\right\|_{2} } \right\rangle   = 0 \end{aligned}\)
da \(\lim_{\mathbf{h} \to 0}  \mathbf{A}\mathbf{h} = 0\) und \( \mathbf{h} / \left\| \mathbf{h}\right\|_{2} \) beschränkt ist (Norm \( 1\)).

Comments

Ich danke dir, genau so habe ich es auch:)

Nur verstehe ich eben den Schritte h^TAh=… nicht. Wieso ist das genau so?

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Ich hab den Teil noch hinzugefügt. Wichtig ist natürlich bei der Berechnung, dass sowohl \(\mathbf{A}\) als auch \(\langle\cdot,\cdot\rangle\) stetige Funktionen sind, letzteres gilt für alle Skalarprodukte auf normierten Vektorräumen (bezüglich der Produkttopologie).