Zeigen Sie mit Hilfe des Quetschlemmas

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Folge \( \left(x_{n}\right)_{n \geq 2} \) wobei \( x_{n}:=\frac{3 n-r_{n}}{n+r_{n}} \) und \( r_{n} \in\{0, \ldots, 6\} \) der Rest von \( n \) bei Division durch 7 sei (für \( n \in \mathbf{N} \) ).

Zeigen Sie mit Hilfe des Quetschlemmas, dass \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=3 \) gilt.

Problem/Ansatz:

Answer 1

$$ Sei \quad a_n:=\frac{3n}{n}; \quad b_n:=\frac{3n-6}{n+6} \quad dann \quad gilt: \quad b_n \leq x_n \leq a_n$$

$$\lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}\frac{3n}{n}=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{n} \cdot 3=3$$

$$\lim_{n \to \infty}b_n=\lim_{n \to \infty}\frac{3n-6}{n+6}=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{n} \cdot \frac{3-\frac{6}{n}}{1+\frac{6}{n}}=\frac{3-0}{1+0}=3$$

Mit deinem Lemma folgt dann

$$\lim_{n \to \infty}x_n=3$$

LG