Aufgabe:
Wir betrachten die Folge (xn)n≥2 \left(x_{n}\right)_{n \geq 2} (xn)n≥2 wobei xn : =3n−rnn+rn x_{n}:=\frac{3 n-r_{n}}{n+r_{n}} xn : =n+rn3n−rn und rn∈{0,…,6} r_{n} \in\{0, \ldots, 6\} rn∈{0,…,6} der Rest von n n n bei Division durch 7 sei (für n∈N n \in \mathbf{N} n∈N ).
Zeigen Sie mit Hilfe des Quetschlemmas, dass limn→∞xn=3 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=3 n→∞limxn=3 gilt.
Problem/Ansatz:
Seian : =3nn;bn : =3n−6n+6danngilt : bn≤xn≤an Sei \quad a_n:=\frac{3n}{n}; \quad b_n:=\frac{3n-6}{n+6} \quad dann \quad gilt: \quad b_n \leq x_n \leq a_nSeian : =n3n;bn : =n+63n−6danngilt : bn≤xn≤an
limn→∞an=limn→∞3nn=limn→∞nn⋅3=3\lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}\frac{3n}{n}=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{n} \cdot 3=3n→∞liman=n→∞limn3n=n→∞limnn⋅3=3
limn→∞bn=limn→∞3n−6n+6=limn→∞nn⋅3−6n1+6n=3−01+0=3\lim_{n \to \infty}b_n=\lim_{n \to \infty}\frac{3n-6}{n+6}=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{n} \cdot \frac{3-\frac{6}{n}}{1+\frac{6}{n}}=\frac{3-0}{1+0}=3n→∞limbn=n→∞limn+63n−6=n→∞limnn⋅1+n63−n6=1+03−0=3
Mit deinem Lemma folgt dann
limn→∞xn=3\lim_{n \to \infty}x_n=3n→∞limxn=3
LG
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