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Aufgabe:

Wir betrachten die Folge (xn)n2 \left(x_{n}\right)_{n \geq 2} wobei xn : =3nrnn+rn x_{n}:=\frac{3 n-r_{n}}{n+r_{n}} und rn{0,,6} r_{n} \in\{0, \ldots, 6\} der Rest von n n bei Division durch 7 sei (für nN n \in \mathbf{N} ).

Zeigen Sie mit Hilfe des Quetschlemmas, dass limnxn=3 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=3 gilt.


Problem/Ansatz:

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Seian : =3nn;bn : =3n6n+6danngilt : bnxnan Sei \quad a_n:=\frac{3n}{n}; \quad b_n:=\frac{3n-6}{n+6} \quad dann \quad gilt: \quad b_n \leq x_n \leq a_n

limnan=limn3nn=limnnn3=3\lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}\frac{3n}{n}=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{n} \cdot 3=3

limnbn=limn3n6n+6=limnnn36n1+6n=301+0=3\lim_{n \to \infty}b_n=\lim_{n \to \infty}\frac{3n-6}{n+6}=\lim_{n \to \infty}\frac{n}{n} \cdot \frac{3-\frac{6}{n}}{1+\frac{6}{n}}=\frac{3-0}{1+0}=3

Mit deinem Lemma folgt dann

limnxn=3\lim_{n \to \infty}x_n=3



LG

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