Bestimmen Sie das Volumen des Schnittes von Zy und Zz

Question

Aufgabe:

Es bezeichnen $Z_{y}$ und $Z_{z}$ (unendlich lange) Zylinder zentriert um die $y$ - beziehungsweise $z$-Achse mit Radius 1. Bestimmen Sie das Volumen des Schnittes von $Z_{y}$ und $Z_{z}$.

Problem/Ansatz:

Ist das nicht einfach die Kugel mit Radius eins?

Comments

Ist das nicht einfach die Kugel

Nein, denn die Schnitte des gesuchten Körpers mit Ebenen x=a (-1<a<1) sind immer Quadrate.

Answer 1

Es gilt
$\begin{aligned} Z_{ y} = \{ ( x, y, z) \in \mathbf{R}^{3} \mid x^{ 2} + z^{ 2}\leqslant 1 \}, \quad Z_{ z} \{ ( x, y, z) \in \mathbf{R}^{3} \mid x^{ 2} + y^{ 2}\leqslant 1\} \end{aligned}$
und
$\begin{aligned} Z_{ y} \cap Z_{ z} &= \{ ( x, y, z) \in \mathbf{R}^{3} \mid x^{ 2} + z^{ 2}\leqslant 1, \: x^{ 2}+ y^{ 2}\leqslant 1\} \\ &= \{ ( x, y, z) \in \mathbf{R}^{3} \mid x ^{ 2} \leqslant 1 - z^{ 2}, \: y^{ 2}\leqslant 1 - x^{ 2},\: z \in [ -1, 1] \} .\end{aligned}$
Ich mache es jetzt mal ganz ausführlich mittels Indikatorfunktionen und Fubini, dann weisst du für die Zukunft, wie es funktioniert:
$\begin{aligned} \int_{ Z_{ y} \cap Z_{ z} } 1 \,\mathrm{d}( x, y, z) &= \int_{ [ -1, 1] ^{ 3}} \mathbf{1}_{ \left\{ x ^{ 2} \leqslant 1 - z^{ 2}, \: y^{ 2}\leqslant 1 - x^{ 2},\: z \in [ -1, 1] \right\}} \,\mathrm{d}( x, y, z) \\ &= \int_{ -1}^{ 1} \int_{ -1}^{ 1} \int_{ -1}^{ 1} \mathbf{1}_{ \left\{ x^{ 2}\leqslant 1 - z^{ 2}\right\}} \mathbf{1}_{ \left\{ y^{ 2}\leqslant 1 - x^{ 2}\right\}} \mathbf{1}_{ \{ z \in [ -1, 1] \} } \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}z \\ &= \int_{ -1}^{ 1} \mathbf{1}_{ \left\{ z \in [ -1, 1] \right\}} \int_{ -1}^{ 1} \mathbf{1}_{ \left\{ x^{ 2}\leqslant 1 - z^{ 2}\right\}} \int_{ -1}^{ 1} \mathbf{1}_{\{ y^{ 2} \leqslant 1 - x^{ 2}\}} \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}z \\ &= \int_{ -1}^{ 1} \int_{ -\sqrt{ 1 - z^{ 2}}}^{ \sqrt{ 1 - z^{ 2}} } \int_{ - \sqrt{ 1 - x^{ 2}} }^{ \sqrt{ 1 - x^{ 2}} } 1 \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}z = \frac{ 16}{ 3} .\end{aligned}$
Ich überlasse es dir, das Mehrfachintegral im letzten Schritt auszurechnen, das ist normale eindimensionale Integration.

Comments

Da die Seitenlänge des Quadrats, von dem ich oben sprach, nach Pythagoras 2*√(1-a²) und seine Fläche also 4*(1-a²) ist, ergibt sich das gesuchte Volumen einfach zu
V = 4*_-1∫¹ 1-a² da = 16/3.

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reicht das wirklich als Begründung und Rechnung mit den Quadraten

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Es hat mir gereicht, um mir die Lösung zu berechnen. Ob es deinem Übungsleiter reicht weiß ich nicht. Du kannst es ja gerne noch mit ein paar Skizzen und etwas Text ausschmücken.