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Hallo, man soll bei einer Aufgabe den Erwartungswert berechnen, es geht um folgende Rechnung, bei der ich nur Bahnhof verstehe:


$$ \sum \limits_{i\geq1}^{}2^{-i}*min(2^{i},10^{14})=\sum \limits_{i=1}^{\\log_{2}{10^{14}}}1+10^{14}*\sum \limits_{i\gt \log_{2}{10^{14}}}^{}2^{-i} \\ =46 + 10^{14}(\sum \limits_{i \geq 0}^{}2^{-i}-\sum \limits_{i=0}^{\ 46}2^{-i}) $$


Kann mir jemand erklären, wie man auf:

1. log2 \( 10^{14} \)  und i > log2 \( 10^{4} \) in den Indizes  sowie 1 + \( 10^{14} \) im ersten Schritt  sowie

2. 46 + \( 10^{14} \), die Indizes i ≥ 0, i = 0 und 46 und dass die beiden Summen subtrahiert werden,

kommt ?

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Aloha :)

Die Summe$$S=\sum\limits_{i=1}^\infty2^{-i}\cdot\operatorname{min}(2^i;10^{14})$$teilen wir in 2 Teilsummen auf, um den Minimum-Faktor zu vereinfachen. Wenn \(2^i<10^{14}\) ist, gewinnt bei der Minimum-Auswahl \(2^i\), sonst gewinnt \(10^{14}\).

Schauen wir mal, bis zu welchem \(i\) der Faktor \(2^i\) gewinnt:$$2^i<10^{14}\quad\big|\log_2(\cdots)$$$$i<\log_2\left(10^{14}\right)=14\cdot\log_2(10)=14\cdot\frac{\ln(10)}{\ln(2)}\approx46,5$$

Daher zerfällt die Summe wie folgt:$$S=\sum\limits_{i=1}^{46}2^{-i}\cdot2^i+\sum\limits_{i=47}^\infty2^{-i}\cdot10^{14}=\sum\limits_{i=1}^{46}1+10^{14}\sum\limits_{i=47}^{\infty}\left(\frac12\right)^i=46+10^{14}\sum\limits_{i=47}^{\infty}\left(\frac12\right)^i$$

Um die Summenformeln für die geometrische Reihe anwenden zu können, also$$\sum\limits_{i=0}^nq^i=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\quad;\quad\sum\limits_{i=0}^\infty q^i=\frac{1}{1-q}\quad\text{für }|q|<1$$

wurde die verbliebene Summe umgeschrieben:$$S=46+10^{14}\left(\sum\limits_{i=0}^{\infty}\left(\frac12\right)^i-\sum\limits_{i=0}^{46}\left(\frac12\right)^i\right)=46+10^{14}\left(\frac{1}{1-\frac12}-\frac{1-\left(\frac12\right)^{47}}{1-\frac12}\right)$$$$\phantom S=46+10^{14}\cdot2\cdot\left(\frac12\right)^{47}=46+\frac{10^{14}}{2^{46}}$$

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meine Herren, Du bist echt ein Mathe-Ass ! Vielen lieben Dank.

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