Aloha :)
Die Funktion ist als gebrochen-rationale Funktion mit Zähler- und Nennerpolynom überall stetig, wo der Nenner nicht verschwindet, also für alle \((x;y)\ne(0;0)\).
Im Punkt \((0|0)\) ist die Funktion hingegen unstetig. Für Stetigkeit müssten wir nämlich auf allen möglichen Wegen zum Punkt \((0|0)\) zu dem Funktionswert \(f(0;0)\) gelangen.
Wir wählen den Weg \((\red{x_n};\green{y_n})=(\red{\frac1n};\green{\frac{1}{n^2}})\) mit \(n\to\infty\) und prüfen, wo er uns hinführt:$$\lim\limits_{n\to\infty}f(\red{x_n};\green{y_n})=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\left(\red{\frac1n}\right)^2\cdot\green{\frac{1}{n^2}}}{\left(\red{\frac1n}\right)^4+\left(\green{\frac{1}{n^2}}\right)^2}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n^4}}{\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^4}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac12=\frac12\ne0=f(0;0)$$
Wir haben also einen Weg gefunden, der uns zum Grenzwert \(\frac12\) führt, der offensichtlich von dem Funktionswert \(f(0;0)=0\) verschieden ist.
Daher ist die Funktion nicht stetig in \((0|0)\).
