Stetigkeit bei Funktion mit mehrere Variablen?

Question

Aufgabe:

Stetigkeit bei Funktion mit mehrere Variablen:

Meine Aufgabe lautet: Existiert g ∈ C³(also mit 3 stetige Ableitungen), sodass ∇g(x, y, z) = (x, yz, z)?

Problem/Ansatz:

Ich habe einen Funktion gefunden der x² /2 + y²z/2  + z² /2 ist und das hat die erwünschte Gradient aber ich habe keine Idee ob das C³ ist, wenn mir jemand das sagen könnte und vielleicht einen Tipp geben könnte wie ich das selbst wissen kann, wäre das wunderbar,

Ich bedanke euch vielmals im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Deine Funktion ist falsch.$$\operatorname{grad}\left(\frac{x^2}{2}+\frac{y^2z}{2}+\frac{z^2}{2}\right)=\begin{pmatrix}x\\yz\\\frac{y^2}{2}+z\end{pmatrix}$$Es gibt keine solche Funktion, weil die Integrabilitätsbedingung nicht erfüllt ist:$$\operatorname{rot}\begin{pmatrix}x\\yz\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}x\\yz\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-y\\0\\0\end{pmatrix}\ne\vec 0$$

Answer 2

Hallo

 deine Funktion ist richtig, und da alle einzelnen Teile 3 mal stetig differenzierbar sind auch in C³.

Gruß lul

Comments

Danke dir vielmals, nur eine Verständnisfrage, wie weiss man allgemein dass eine Funktion mit mehrere Variablen in C^k ist, betrachtet man die einzelne Teile?

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Hallo

 wenn die einzelnen Teile in C^k sind dann ist das ihre Summe natürlich auch ebenso wie das Produkt.

Gruß lul