Beweis das w in der linearen Hülle liegt.

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie folgenden Satz:

Seien \( v_{1}, v_{2}, w \in \mathbb{R}^{n} \) mit \( n \in \mathbb{N} \). Weiters nehmen wir an, dass \( \left(v_{1}, v_{2}\right) \) linear unabhängig sind. Dann gilt: Sind \( \left(v_{1}, v_{2}, w\right) \) linear abhängig, dann liegt \( w \) in der linearen Hülle von \( v_{1} \) und \( v_{2} \).

Answer 1

Seien \(v_1,v_2,w\) linear abhängig. Dann gibt es

\(a,b,c\in\mathbb{R}\) nicht alle \(=0\), so dass

\(av_1+bv_2+cw=0\). Wäre nun \(c=0\), so wären

\(v_1,v_2\) linear abhängig, also ist \(c\neq 0\) und

daher \(w=\frac{1}{c}(-av_1-bv_2)\in Lin(v_1,v_2).\)