Basis und die Dimension der linearen Hülle der folgenden Vektoren bestimmen

Question

Aufgabe:
Basis und Dimension der linearen Hülle der folgenden Vektoren in R3 bestimmen

\( \begin{pmatrix} 1\\2\\4 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 2\\-1\\0 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} -1\\-2\\-4 \end{pmatrix} \)\( \begin{pmatrix} 1\\1\\3 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \).

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht mittel Gauß-Elimination auf λ zu kommen, aber irgendwie schaff ich es nicht.

Ich habe folgendes versucht:

1	2	-1	1	0	0
2	-1	-2	1	1	0
4	0	-4	3	1	0

Dann Zeile II - (2*Zeile I) und Zeile III - (4* Zeile I)

1	2	-1	1	0	0
0	-5	0	-1	1	0
0	-8	0	-1	1	0

Dann Zeile III + (4* Zeile I)

1	2	-1	1	0	0
0	-5	0	-1	1	0
0	0	-4	3	1	0

Aber irgendwie schaut mir das komisch aus, stimmt das soweit?

Answer 1

Aloha :)

Du hast hier Äpfel mit Birnen verwechselt. Du willst ja eine Basis der 5 Vektoren ermitteln, also musst du die linearen Abhängigkeiten aus den Vektoren herausrechnen. Das kann man mit dem Gauß-Verfahren machen. Wenn du dazu Zeilenoperationen nutzen möchtest, muss du die 5 Vektoren als Zeilenvektoren interpretieren. Wenn du dazu Spaltenoperationen nutzen möchtest, musst du die 5 Vektoren als Spaltenvektoren interpretieren. Du hast Spaltenvektoren verwendet, aber Zeilenopertionen benutzt. Das führt nicht zum Ziel.

Ich führe das mal mit Spaltenoperationen vor, weil die etwas unbekannter sind.

$$\begin{array}{rrrrrr} & -2S_1 & +S_1 & -S_1\\\hline1 & 2 & -1 & 1 & 0\\2 & -1 & -2 & 1 & 1\\4 & 0 & -4 & 3 & 1\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrrrrr} -2S_5 & +5S_5 & & +S_5\\\hline1 & 0 & 0 & 0 & 0\\2 & -5 & 0 & -1 & 1\\4 & -8 & 0 & -1 & 1\end{array}\quad\to$$$$\begin{array}{rrrrrr}  & :(-3) & & \\\hline1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\\2 & -3 & 0 & 0 & 1\end{array}\quad\to\begin{array}{rrrrrr} -2S_2 & & & &-S_2\\\hline1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\\2 & 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\quad\to$$$$\begin{array}{rrrrrr} \vec b_1 & \vec b_3 & & & \vec b_2\\\hline1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\end{array}$$

Als Basis für die 5 Vektoren finden wir also die kanonische Standardbasis des \(\mathbb R^3\). Da wir drei linear unabhängige Basisvektoren haben, ist die gesuchte Dimension 3.