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f(x) =  |x|cos \( \frac{πx}{2} \)

Ich habe hiervon die Stammfunktion berechnet und erhalte

F(x)= \( \frac{2x (πxsin(πx/2)+2cos(πx/2)}{π^2|x|} \)

Nun stoße hier auf ein Problem:

F(x)= \( \int\limits_{-1}^{t} \) f(x) dx

Wie gehe ich hier vor mit dieser Unbekannten? Kann ich es als t für x berechnen und so bleiben lassen?

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kann ich hier \( \int\limits_{-1}^{0} \) und danach \( \int\limits_{0}^{t} \) rechnen?

F(x)= \( \int\limits_{-1}^{t} \) f(x) dx

Das ist kein Problem. Das ist eine Gleichung. Was willst du mit der Gleichung machen?

Schau auch mal nach ob dort, wo Variablen stehen, die richtigen Variablen stehen.

wie löse ich dann die Gleichung auf?

Nach welcher Variable möchtest du die Gleichung auflösen, \(x\) oder \(t\)?

nach t möchte ich auflösen

Also es heißt F(t) nicht F(x) .. habe mich vertippt

die genaue Aufgabenstellung steht weiter unten im Kommentar

nach t möchte ich auflösen

Dann hast du die Aufgabenstellung nicht begriffen.

Gesucht ist die Integralfunktion zur unteren Grenze -1.

2 Antworten

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Deine Stammfunktion ist falsch. Eine Stammfunktion ist

        \(F(x) = \begin{cases}{{2\left(\pi\sin \left({{\pi x}\over{2}}\right)+2\cos \left({{\pi x}\over{2}}\right)\right)-4}\over{\pi^2}}\cdot{{x}\over{\left| x\right| }}&\text{falls }x\neq 0\\0&\text{falls }x=0\end{cases}\).

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woher kommt die minus 4

das hat mir aber der integralrechner ausgespuckt, mir wurde schon öfter der ableitungsrechner empfohlen und das ist doch fast dasselbe ^^'

Dein \(F\) ist nicht differenzierbar, also keine Stammfunktion.

\(f\) ist gerade, also muss \(F\) punktsymmetrisch bezüglich des Punktes \((0| F(0))\) sein. Am einfachsten erreicht man das, indem man dafür sorgt, dass \(F\) ungerade ist.

Dazu habe ich \(g(x) = x\cos\frac{\pi x}{2}\) zu \(G(x)\) integriert (n.b \(g(x) = f(x)\) für alle \(x>0\)). Dann habe ich \(G\) so verschoben, dass die Funktion durch den Ursprung verläuft und mit dem Faktor \(\frac{x}{|x|}\) dafür gesorgt, dass \(F(-x) = -F(x)\) ist.

Dann ist \(\int\limits_{-1}^t f(x)\,\mathrm{d}x= F(t) - F(-1)\).

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f(x) = ABS(x)·COS(pi/2·x)

F(x) = 2·SIGN(x)·(2·COS(pi·x/2) + pi·x·SIN(pi·x/2) - 2)/pi^2

∫ (-1 bis t) f(x) dx = F(t) - F(-1) = 2·(SIGN(t)·(2·COS(pi·t/2) + pi·t·SIN(pi·t/2) - 2) + pi - 2)/pi^2

Interessant wäre die wirkliche Aufgabenstellung.

Also warum setzt man die Stammfunktion gleich dem Integral. Ich vermute das hast du dazu gedichtet?

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Ja das habe ich dazu gedichtet ^^'

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktionen f(x)= |x|cos(\( \frac{π}{2} \) x)

Zu einer reellen Zahl t sei: F(t) \( \int\limits_{-1}^{t} \) f(x)dx

Bestimmen Sie F(t)

Ok. Dann habe ich das richtig verstanden und das obige sollte die Lösung sein.

Also

F(t) = 2·(SIGN(t)·(2·COS(pi·t/2) + pi·t·SIN(pi·t/2) - 2) + pi - 2)/pi^2

kannst du das eventuell noch genauer erklären wie du darauf kommst

Zunächst solltest du verstehen, wie man auf eine Stammfunktion kommt. Da könnte dir ein https://www.integralrechner.de/ helfen.

Dann ist F(t) die Integralfunktion zur unteren Grenze -1. Dh. Wenn du -1 in die Stammfunktion einsetzt, muss 0 herauskommen.

Dazu setzt du einfach mal -1 in die Stammfunktion ein und subtrahierst den Wert über die Integrationskonstante C.

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