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Aufgabe:

Sei \( (V,\langle·,·\rangle)\) ein euklidischer Vektorraum, \(U \subset V \) ein \( \mathbb{R} \)-Untervektorraum. Zeigen Sie, dass ein \( f \in \operatorname{End}_{\mathbb{R}}(V) \) mit den folgenden Eigenschaften existiert:

1. \( \|f(v)\| \leq\|v\| \) für alle \( v \in V \), und
2. \( \|f(v)\|=\|v\| \) gilt genau dann, wenn \( v \in U \).


Problem/Ansatz:

Zu 1. Sei \( f: V \rightarrow U \) mit \( v \mapsto f(v)=u\) die Projektion auf den \(K\)-Untervektorraum \(U\). Wir wissen das diese Abbildung \(K\)-linear ist.

Da \( U \subseteq V \) is \( V=U^{\perp} \oplus U \) und jedes \( v \in V \) ist eindeutig bestimmt durch \( v=u+w \) mit \( u \in U \), \( w \in U^{\perp} \). Dann ist \( f(u)=u \), da \( u \in U \) and \( \|f(v)\|=\|u\| \) sowie \( f(w)=0 \), da \( w \) orthogonal zu \(U\) ist.

Es folgt \( \|u\| \leqslant\|v\| \), denn für \( u^{\prime} \in U \) gilt \( \|v-u\| \leq\left\|v-u^{\prime}\right\| \). Also ist \( \|f(v)\|=\|u\| \leq\|v\| \) was die Behauptung liefert.

Zu 2. \( "\leftarrow"\)

Sei \( v \in U\), dann ist \( f(v)=v \) und somit \( \|f(v)\|=\|v\| \)

\( "\rightarrow"\)
Aus a) wissen wir das \( \|f(v)\| \leq\|v\| \). Da nun \( v \in U\) ist
\( \|v\|=\|u\| \) für alle \( u \in U \), somit \( \|f(v)\|= \|u\| = \|v\| \)


Lasst mich wissen, ob das so in Ordnung ist oder ich einen Denkfehler habe! Danke für jede Hilfe!

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die Projektion auf den \(K\)-Untervektorraum \(U\).

Du solltest sicherheitshalber "die orthogonale Projektion" schreiben.

Stimmt, danke dir!

1 Antwort

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Beim ersten Überflug scheint mir das alles OK.
Nur

Es folgt \( \|u\| \leqslant\|v\| \), denn für \( u^{\prime} \in U \) gilt \( \|v-u\| \leq\left\|v-u^{\prime}\right\| \). Also ist \( \|f(v)\|=\|u\| \leq\|v\| \) was die Behauptung liefert.

finde ich nicht besonders überzeugend dargestellt

Avatar von 29 k

Genau, bei diesem Punkt war ich mir auch nicht sicher, wie ich \(\|u\| ≤ \|v\|\) gut begründen kann. Es war mein einziger Gedanke, hast du eine andere Idee?

\(v\) ist doch \(u+w\) mit zueinander orthogonalen \(u,w\).

Kann man da nicht den Pythagoras anwenden?

Da \( u,w \) orthogonal zu einander sind gilt \( \langle w, v\rangle=0 \). Mit Pythagoras gilt: \( \|w+u\|^{2}=\|v\|^{2}=\|w\|^{2}+\|u\|^{2} \) und somit \( \|v\| \leq\|u\| \). Also ist \( \|f(v)\|=\|u\| \leq\|v\| \) was die Behauptung liefert. Ich denke wir haben es oder?

Ja. So habe ich es gemeint ;-)

Danke dir für deine Hilfe!

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