Endomorphismus mit ||f(v)|| ≤ ||v||

Question

Aufgabe:

Sei $(V,\langle·,·\rangle)$ ein euklidischer Vektorraum, $U \subset V$ ein $\mathbb{R}$-Untervektorraum. Zeigen Sie, dass ein $f \in \operatorname{End}_{\mathbb{R}}(V)$ mit den folgenden Eigenschaften existiert:

1. $\|f(v)\| \leq\|v\|$ für alle $v \in V$, und
2. $\|f(v)\|=\|v\|$ gilt genau dann, wenn $v \in U$.

Problem/Ansatz:

Zu 1. Sei $f: V \rightarrow U$ mit $v \mapsto f(v)=u$ die Projektion auf den $K$-Untervektorraum $U$. Wir wissen das diese Abbildung $K$-linear ist.

Da $U \subseteq V$ is $V=U^{\perp} \oplus U$ und jedes $v \in V$ ist eindeutig bestimmt durch $v=u+w$ mit $u \in U$, $w \in U^{\perp}$. Dann ist $f(u)=u$, da $u \in U$ and $\|f(v)\|=\|u\|$ sowie $f(w)=0$, da $w$ orthogonal zu $U$ ist.

Es folgt $\|u\| \leqslant\|v\|$, denn für $u^{\prime} \in U$ gilt $\|v-u\| \leq\left\|v-u^{\prime}\right\|$. Also ist $\|f(v)\|=\|u\| \leq\|v\|$ was die Behauptung liefert.

Zu 2. $"\leftarrow"$

Sei $v \in U$, dann ist $f(v)=v$ und somit $\|f(v)\|=\|v\|$

$"\rightarrow"$
Aus a) wissen wir das $\|f(v)\| \leq\|v\|$. Da nun $v \in U$ ist
$\|v\|=\|u\|$ für alle $u \in U$, somit $\|f(v)\|= \|u\| = \|v\|$

Lasst mich wissen, ob das so in Ordnung ist oder ich einen Denkfehler habe! Danke für jede Hilfe!

Comments

die Projektion auf den $K$-Untervektorraum $U$.

Du solltest sicherheitshalber "die orthogonale Projektion" schreiben.

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Stimmt, danke dir!

Answer 1

Beim ersten Überflug scheint mir das alles OK.
Nur

Es folgt $\|u\| \leqslant\|v\|$, denn für $u^{\prime} \in U$ gilt $\|v-u\| \leq\left\|v-u^{\prime}\right\|$. Also ist $\|f(v)\|=\|u\| \leq\|v\|$ was die Behauptung liefert.

finde ich nicht besonders überzeugend dargestellt

Comments

Genau, bei diesem Punkt war ich mir auch nicht sicher, wie ich $\|u\| ≤ \|v\|$ gut begründen kann. Es war mein einziger Gedanke, hast du eine andere Idee?

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$v$ ist doch $u+w$ mit zueinander orthogonalen $u,w$.

Kann man da nicht den Pythagoras anwenden?

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Da $u,w$ orthogonal zu einander sind gilt $\langle w, v\rangle=0$. Mit Pythagoras gilt: $\|w+u\|^{2}=\|v\|^{2}=\|w\|^{2}+\|u\|^{2}$ und somit $\|v\| \leq\|u\|$. Also ist $\|f(v)\|=\|u\| \leq\|v\|$ was die Behauptung liefert. Ich denke wir haben es oder?

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Ja. So habe ich es gemeint ;-)

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Danke dir für deine Hilfe!