Zeigen Sie, dass x_{n} ≥ √{a} für alle n ∈ {N}^{*} ist.

Question

Text erkannt:

Sei \( a>0 \) fest. Wir betrachten die durch
\( x_{0}:=1 \quad \text { und } \quad x_{n+1}:=\frac{1}{2} \cdot\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right) \quad \text { für } n \in \mathrm{N} \)
rekursiv definierte Folge \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \).
(a) Zeigen Sie, dass \( x_{n} \geq \sqrt{a} \) für alle \( n \in \mathrm{N}^{*} \) ist.

Aufgabe:

Problem/Ansatz: b) zeigen dass die Folge monoton fallend ist

Sitze schon seit Tagen an der Aufgabe aber es wird einfach nichts könnte mir jemand bei der Aufgabe helfen? Wäre sehr sehr dankbar dafür.

Answer 1

Da alles positiv ist, reicht es zu zeigen:  \(  x_n^2 - a \ge 0 \)

Betrachte   \(  x_{n+1}^2 - a = ( \frac{1}{2} \cdot\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right) )^2 - a \)

\( =  \frac{1}{4} \cdot\left(x_{n}^2 + 2a +(\frac{a}{x_{n}})^2\right) ) - \frac{1}{4}\cdot 4a \)

\( =  \frac{1}{4} \cdot\left(x_{n}^2 -2a +(\frac{a}{x_{n}})^2\right) )  \)

\( = ( \frac{1}{2} \cdot\left(x_{n}-\frac{a}{x_{n}}\right) )^2  \)

und Quadrate sind nie negativ. q.e.d.

Comments

Betrachte   \( x_n^2-a=\dots\)

Besser: Betrachte   \(x_{n+1}^2-a=\dots\)

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Klar erkannt, ich korrigiere das. Vielen Dank .