Zeigen Sie, dass die Folge (x_{n})_{n ≥ 1} konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert.

Question

Aufgabe:

Sei \( x_{1} \in(0, \infty) \) und \( x_{n+1}=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{n+1}\right) x_{n} \) für \( n \geq 1 \).
(a) Untersuchen Sie die Folge \( \left(x_{n}\right)_{n \geq 1} \) auf Monotonie.
(b) Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(x_{n}\right)_{n \geq 1} \) konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert.

wie soll ich a machen ? und bei b soll ich nur lim (a_{n+1}) berechnen ?

Answer 1

\( x_{n+1}=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{n+1}\right) x_{n} \)  gibt für \( x_n \ne 0  \).

\( \frac {x_{n+1}} {x_n }=\frac{1}{2}+\frac{1}{n+1}  \le 1 \)

==>  \( x_{n+1} \le x_n \) also ist die Folge monoton fallend.

Da nicht negativ werden kann ist sie nach unten beschränkt und somit konvergent.

Für den Grenzwert g gilt dann

  \( g= \lim\limits_{n\to\infty} \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{n+1}\right) \cdot g \)

==>   g = 0,5g

==>  0,5g = 0

==>  g=0.