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ich komme gerade nicht weiter.

 

Sei V der Vektorraum der reellen Funktionen auf dem Intervall [0,1]. Man beweise, dass die Funktionen x3, sin(x) und cos(x) linear unabhängig sind. Ist das System bestehen aus f(x)=1+cos(2x), g(x)=1-cos(2x), h(x)= -sin2(3x), i(x)=cos2(3x) linear unabhängig in V?

 

Ich weiß, dass es bei linearer Unabhängigkeit kein λ≠0 geben kann/darf, aber wie zeige ich das?

Und was ist ein System?

 

Ich hoffe, mir kann jemand helfen. Danke

von
Ein System ist wohl hier eine Menge von Vektoren.
Bei der zweiten Frage wird dir einfach nicht gesagt, ob du nun linear abhängig oder unabhängig beweisen sollst.

1 Antwort

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Also eigentlich müsstest du zur linearen Unabhängigkeit von Funktionen schon ein paar Sätze in der Vorlesung gehört haben, sonst würdest du kaum solche Aufgaben bekommen, Vorausgesetzt natürlich, du studierst und machst das nicht aus Interesse (was natürlich zu begrüßen wäre :-) )

Auf jeden Fall kann man zeigen (ich kanns nicht auswendig, aber wenn du Wert darauf legst, kann ich meinen Hefter rausholen), dass eine Menge von Funktionen linear unabhängig ist, wenn ihre Wronski-Determinante für mindestens ein x nicht 0 ist. Unter der Wronski-Determinante versteht man die folgende Zahl:

Dabei bedeutet g(n)(x) die n-te Ableitung von g an der Stelle x.

Für die erste Aufgabe sieht die Wronski-Determinante folgendermaßen aus:

$$ W ( x ) = \left| \begin{array} { c c c } { x ^ { 3 } } & { \sin ( x ) } & { \cos ( x ) } \\ { 3 x ^ { 2 } } & { \cos ( x ) } & {- \sin ( x ) } \\ { 6 x } & { - \sin ( x ) } & { - \cos ( x ) } \end{array} \right| $$

Zum Beispiel:

$$ W ( \pi / 4 ) = \left| \begin{array} { c c c } { \frac { \pi ^ { 3 } } { 64 } } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \\ { \frac { 3 \pi ^ { 2 } } { 16 } } & { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } & { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \\ { \frac { 3 \pi } { 2 } } & { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } & { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \end{array} \right| = - \frac { \pi ^ { 3 } } { 128 } - \frac { 3 \pi ^ { 2 } } { 32 } - \frac { 3 \pi } { 4 } - \frac { 3 \pi } { 4 } - \frac { \pi ^ { 3 } } { 128 } + \frac { 3 \pi ^ { 2 } } { 16 } = - \frac { \pi ^ { 3 } } { 64 } - \frac { 3 \pi } { 2 } \neq 0 $$


Also sind die Funktionen linear unabhängig. (Insbesondere gilt pi/4≈0.79 ∈ [0, 1]

Für die zweite Aufgabe ist es etwas schwieriger, denn wir wissen nicht, ob die Funktionen linear abhängig oder unabhängig sind. Aber ein Blick auf die Funktionen zeigt folgendes: wir können aus den ersten beiden Funktionen den Cosinus durch Addition eliminieren und aus dem zweiten Paar mit dem trigonometrischen Pythagoras

1 = sin²(x)+cos²(x)

wobei es völlig egal ist, was im Argument steht. Man muss hier also eine Linearkombination finden:

Ich behaupte:

f(x)+g(x)+2h(x)-2i(x) = 0

1+cos(2x) + 1-cos(2x) - 2sin²(3x) - 2cos²(3x) = 2 - 2*(sin²(3x)+cos²(3x)) = 2-2 = 0

Also sind die Funktionen linear abhängig.

von 10 k
Danke, für deine Antwort. Ist es bei dem ersten egal, welche Zahl im Intervall [0,1] man einsetzt? Würde da bei allen ≠0 rauskommen?

Und immer wenn =0 rauskommt wäre es dann linear abhängig?

Hätte da noch ein paar Fragen.

Woher kommen die ganzen Minus bzw. ganz hinten das Plus? Werden die Vorzeichen einfach umgedreht?

 

Und bei dem Beispiel die erste Zeile ist ja

W(π/4)= I...I = usw.

die ersten drei Zahlen sind mir klar, wie du daruf kommst, das ist das Produkt der jeweiligen Reihe, aber wie kommst du auf die hinteren drei Zahlen? Also woher kommt das ... - 3π/4 - π3/128 + 3π2/16 ??

 

Kann das leider nicht ganz nachvollziehen, mir war die Wronski-Determinante vorher unbekannt.

Das ist einfach die Determinante einer 3x3-Matrix. Das sieht jetzt vielleicht so aus, als wären das die Produkte der Reihen, aber das stimmt nicht.

Puuh, wo fange ich da am besten an... also die Determinante det A oder auch |A| ist eine Zahl, die man einer Matrix A zuordnet. Sie hat ein bisschen ähnliche Eigenschaften wie z.B. der Betrag eines Vektors, aber sie hat auch gewisse Unterschiede, z.B. kann sie auch negativ sein und wenn sie 0 ist heißt das nicht automatisch, dass die Matrix die Nullmatrix ist.

Mit ihr kann man gewisse Aussagen über das Lösungsverhalten eines Gleichungssystems der Form A*x=b treffen und sie hat auch ein bisschen was mit einem Volumen im Raum zu tun. An sich hat sie mit ziemlich viel ein bisschen etwas zu tun, und sie taucht ständig an den unterschiedlichsten Stellen auf.

So z.B. auch hier, obwohl das eigentlich ein höchst analytisches Problem ist (Determinanten sind eigentlich ein Objekt der Algebra.)

Es gibt eine allgemeine Formel für die Determinante einer beliebigen nxn-Matrix, aber das führt wohl zu weit, ich nenne mal die Formeln bis zu n=3.

n=1: Eine 1x1-Matrix ist einfach eine Zahl und die Determinante ist dann auch einfach diese Zahl, das ist nicht besonders schwer.

n=2: Eine 2x2-Matrix hat die Form

$$ \left( \begin{array} { l } { a b } \\ { c d } \end{array} \right) $$

und ihre Determinante lautet ad-bc.

n=3: Eine 3x3-Matrix hat die Form

$$ \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} $$

Und ihre Determinante lautet:

aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb

Man kann sich das anhand der Diagonalen merken: Man denkt sich die Matrix noch einmal daneben und zeichnet dann alle möglichen Diagonalen ein: die, die links oben beginnen und nach rechts unten gehen nimmt man positiv und die die links unten beginnen und nach rechts oben gehen, nimmt man negativ.

Daher kommt dann das Ergebnis.

Zum ersten System: Damit die Funktionen linear unabhängig sind, muss mindestens eine Zahl existieren, für die die Determinante nicht 0 ist.

Der Umkehrschluss stimmt leider nicht, dass heißt, wenn die Determinante für eine Zahl 0 ist, bedeutet das nicht, dass die Funktionen linear abhängig sind. Das gilt nur, wenn sie für alle Zahlen, die man einsetzen kann 0 ist und das ist im Allgemeinen schwer zu zeigen, deswegen muss man dann tatsächlich einen Satz von Lambdas finden, für das die Linearkombination 0 ergibt.

Jetzt würde mich aber doch interessieren, aus welchem Antrieb du dich damit beschäftigst. Es kann ja gut sein, dass es auch noch andere Möglichkeiten gibt, die lineare Unabhängigkeit von Funktionen zu untersuchen, ich habs nunmal so gelernt. Wenn das wirklich Unistoff ist, fände ich es aber ziemlich gemein von euren Dozenten euch ohne das richtige Rüstzeug auf die Aufgaben loszulassen ;-)

Ok, danke. Jetzt ist das schon alles etwas klarer. =)

Aber kann es sein, dass du dich ein bisschen verrechnet hast?

Müsste es dann nicht heißen

$$ - \frac { \pi ^ { 3 } } { 128 } - \frac { 3 \pi ^ { 2 } } { 32 } - \frac { 3 \pi } { 4 } - \frac { 3 \pi } { 4 } + \frac { \pi ^ { 3 } } { 128 } - \frac { 3 \pi ^ { 2 } } { 32 } $$

also das + eins weiter vorne und hinten -3π2/32, nicht /16?

Und wie genau rechnet man dann weiter? Also das eine Kürzt sich ja weg, aber das andere?

Und dann vielleicht eine blöde Frage, aber wenn man die links oben beginnen und nach rechts unten gehen  positiv nimmt, warum steht dann überall ein Minus?

Also das ist eine Aufgabe aus der Uni, aber das hatten wir so nicht. Und richtige Beispiele bzw. einen ordentlichen Beweis für sowas hatten wir auch nicht. Aber ich muss sagen, dass du mit dieser Determinante mein Interesse geweckt hast. :D

Die Frage mit dem Minus hat sich erledigt, habs gemerkt.

Schön blöd, ich schiebs einfach mal auf die Uhrzeit. :D
Naja, man kann weiterrechnen, indem man die Sachen einfach in den Taschenrechner eintippt und feststellt, dass das Ergebnis nicht 0 ist, dann hat man gezeigt, dass eine Stelle x existiert, für die die Wronski-Determinante nicht verschwindet.

Ok, da wäre ich auch noch drauf gekommen, ich meinte eigentlich, wie du zu

3/64-3π/2 kommst?

Ach, jetzt sehe ich erst deine zweite Verbesserung. Ja, ganz hinten muss es -3π²/32 heißen.

Damit hebt sich der Term mit π² heraus und die anderen beiden kommen je zweimal vor, deswegen:

-3π/4-3π/4 = 2*(-3π/4) = -3π/2

und der andere Term genauso.

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