Beweis für ∂(A × B) = (∂A × B) ∪ (A × ∂B)

Question

Es seien (X, dX),(Y, dY ) metrische Räume. Zeigen Sie, dass für A ⊆ X und B ⊆ Y gilt

∂(A × B) = (∂A × B) ∪ (A × ∂B).

Comments

Ich halte diese Aussage für falsch.

Answer 1

Ich schließe mich Mathhilf an.

Die Aussage ist falsch:

Man nehme z.B. \(A=B=I\), wobei \(I\) das offene Intervall \((0,1)\)

sei. Dann ist \((1,1)\in \partial (A\times B)\), aber

\(x\notin (\partial(A)\times B)\cup (A\times \partial(B))\).