Eine Teilmenge A ⊂ X ist genau dann abgeschlossen, wenn ∂A ⊂ A, d.h. wenn jeder Randpunkt von A schon zu A gehört.

Question

Aufgabe:

Eine Teilmenge A ⊂ X ist genau dann abgeschlossen, wenn ∂A ⊂ A, d.h. wenn jeder Randpunkt von A schon zu A gehört.

Problem/Ansatz:

Für die Hinrichtung hätte ich gesagt, dass wenn A abgeschlossen ist, dann befindet sich im Komplement (welches offen ist) nicht der Rand. (ist ein Satz aus der Vorlesung.), also muss sich der Rand in A befinden.

Ich weiß nicht ob dies wirklich logisch klingt.

Für die Rückrichtung:

Der Rand ist eine abgeschlossene Teilmenge von A. Und jede Menge, welche ihren Rand beinhaltet ist abgeschlossen.

Ich hoffe meine Ideen sind ansatzweise richtig :)

Comments

Wie habt Ihr "abgeschlossen" definiert?

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Eine Menge ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist

und dann als ein zusätzlicher Satz noch:

A ∪ ∂A ist abgeschlossen und ∂A der Rand ist abgeschlossen

Answer 1

Hallo,

ok, dann

Wenn \(\partial A \sub A\):

$$A \sub A \cup \partial A \sub A \Rightarrow A=A \cup \partial A$$

und letzteres ist nach Eurem Satz abgeschlossen.

Wenn A abgeschlossen ist, dann (das ist im wesentlichen Deine Überlegung):

Alle Punkte von \(A^c\) (Komplement, offen) sind innere Punkte. Für \( x \in \partial A\) besitzt jede Umgebung von x einen nichtleeren Durchschnitt mit A, liegt also nicht (ganz) in \(A^c\); also ist x keine innerer Punkt von \(A^c\), also ist \(x \notin A^c\), also \(x \in A\). Zusammen \(\partial A \sub A\).

Gruß Mathhilf