Aufgabe:
Sei \( X \) eine Zufallsvariable auf dem Wahrscheinlichkeitsraum \( (\Omega, \mathcal{F}, P) \).
(a) Die Zufallsvariable \( X \) sei Poisson-verteilt mit Parameter \( \lambda>0 \). Berechnen Sie den Erwartungswert \( E[X] \).
(b) Die Gamma-Funktion ist gegeben durch das uneigentliche Integral
\( \Gamma(t):=\int \limits_{0}^{\infty} x^{t-1} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x \quad(t>0) . \)
(i) Zeigen Sie: Für \( t>0 \) gilt \( \Gamma(t+1)=t \cdot \Gamma(t) \).
(ii) Zeigen Sie: Für \( n \in \mathbb{N}_{0} \) gilt \( \Gamma(n+1)=n \) !.
(iii) Es seien \( \alpha, \nu>0 \). Bestimmen Sie die Konstante \( c_{\alpha, \nu} \), sodass durch
\( f_{\alpha, \nu}(x):=\left\{\begin{array}{ll} c_{\alpha, \nu} \cdot x^{\nu-1} \mathrm{e}^{-\alpha x}, & \text { falls } x>0 \\ 0, & \text { falls } x \leq 0 \end{array}\right. \)
die Dichte eines Wahrscheinlichkeitsmaßes \( P \) auf \( (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})) \) definiert wird.
(iv) Die Zufallsvariable \( X \) besitze die Dichte \( f_{\alpha, \nu}(x) \). Bestimmen Sie den Erwartungswert \( E[X] \).
Problem/Ansatz:
ich komme bei b)iii) nicht weiter. Das uneigentliche Integral von 0 bis unendlich muss 1 sein. Aber selbst wenn ich das c rausziehe und partielle Integration benutze wird die Gleichung immer komplizierter. Kann mir jemand helfen wie ich das Integral lösen könnte?
