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Hallo zusammen,

ich habe folgende Aufgabe bekommen.


$$\text{(i) Zeigen Sie nur mit Definition 16.2.1, dass die Funktion }\\f:[0,\infty) \rightarrow \mathbb{R},x \mapsto x^{3/2},\text{in jedem beliebigen Punkt }x_0 \in (0, \infty) \text{ differenzierbar ist.}\\\text{Ist f in 0 rechtsseitig differenzierbar?}\\ \text{(ii) Betrachten Sie die Funktion } g:(-\infty,2)\rightarrow \mathbb{R},\\g (x) = \left\{ \begin{array}{ll}0 & \textrm{für} -\infty<x\leq0, \\x^2 & \textrm{für 0 < x}\leq1, \\\sqrt{1-(x-1)^2} & \textrm{für 1 < x < 2} \\\end{array}\right. \\\text{und untersuchen Sie, in welchen Punkten }x_0 \in (-\infty,2) \text{ die Funktion g differenzierbar ist.}$$


Bezüglich der Definition von Aufgabe (i): Ich bin mir nicht sicher, ob ich diese hochladen darf, deswegen eine kurze Beschreibung:


Definition 16.2.1:

(i)

$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

$$\text{Differenzenquotient von f in }x_0 \text{und x.}$$

(ii)

$$\text{Wir sagen, dass f in }x_0 \text{differenzierbar ist, wenn der Grenzwert \\ }\lim \limits_{\substack{\ x \to x_0\\x \neg x_0}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \\ \text{in R existiert.}$$


Bei beiden Aufgaben bin ich mir unsicher, wie ich diese Lösen soll.

Vielen Dank im Voraus :)

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(i)  Sei xo ∈ (0;∞). Dann ist für x→xo auch x∈ (0;∞) anzunehmen.

Und es gilt:

$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \frac{x^{\frac{3}{2}}-x_0^{\frac{3}{2}}}{x-x_0}  $$

$$= \frac{(x^{\frac{3}{2}}-x_0^{\frac{3}{2}})\cdot (x^{\frac{3}{2}}+x_0^{\frac{3}{2}})}{(x-x_0)\cdot (x^{\frac{3}{2}}+x_0^{\frac{3}{2}})} = \frac{x^3-x_0^3}{(x-x_0)\cdot (x^{\frac{3}{2}}+x_0^{\frac{3}{2}})} $$

$$= \frac{x^2+x\cdot x_0 +x_0^2}{x^{\frac{3}{2}}+x_0^{\frac{3}{2}}} $$

und für x→xo gibt das als Grenzwert$$ \frac{3x_0^2}{2x_{0}^{\frac{3}{2}} }=\frac{3}{2}x_{0}^{\frac{1}{2}}$$

Avatar von 287 k 🚀

Vielen Dank!


Bezüglich der (ii):

Soll man diese mit linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwerten lösen, wie auch zum Beispiel bei der Stetigkeit? Oder gibt es dort ein anderes Verfahren?

Aber nat. Grenzwert des Differenzenquotienten.

Ok ich glaube ich hab es jetzt verstandne

Ein anderes Problem?

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