Aufgabe:
$$Bestimmen\;Sie\;die\;Fourierreihe\;von\;der\;T-periodischen\;Funktion\;f(x)\;mit\;T=3\;und\\f(x)=\;\left\{\begin{array}{cc}x&,\;falls\;0\leq x<1\\1&,\;falls\;1\leq x<2\\3-x&,\;falls\;2\leq x<3\end{array}\right.,\\wobei\;der\;Rechenweg\;nachvollziehbar\;darzulegen\;ist.\;Begründen\;Sie\;schließlich,\\ob\;die\;Konvergenz\;der\;Reihe\;gleichmäßig\;ist.\\$$
Problem/Ansatz:
Ich habe bereits festgestellt, dass f gerade ist. Jetzt müssen nur noch die Koeffizienten an (und a0) berechnet werden. Dafür ist aus unserem Vorlesungsskript folgende Formel für gerade Funktionen gegeben:
$$(Sei\;Periode\;T=2l\;mit\;l>0)\\a_n=\frac2l\int_0^lf(x)\;\cos\left(\frac{n\mathrm{πx}}l\right)\;\operatorname dx$$
Hier habe ich das (hoffentlich korrekt) auf die Aufgabenstellung angewendet und das entstehende Integral aufgeteilt, weil die Funktion stückweise definiert ist:
$$Berechnet\;wird\;T:\\T=3=2l\\\Rightarrow l=\frac32=1,5\\Berechnet\;wird\;a_n:\\a_n=\frac43\int_0^{1,5}f(x)\;\cos\left(\mathrm{nπx}\frac23\right)\;\operatorname dx\\=\frac43\left(\int_0^1x\;\cos\left(\mathrm{nπx}\frac23\right)\;\operatorname dx+\int_1^{1,5}\cos\left(\mathrm{nπx}\frac23\right)\;\operatorname dx\right)$$
Ich habe noch festgestellt, dass:
$$\cos\left(\mathrm{nπ}\frac23\right)=\left\{\begin{array}{lc}-0,5&,\;falls\;n\neq3\times m\\1&,\;falls\;n=3\times m\end{array}\right.,\;mit\;m\in\mathbb{N}$$
An dieser Stelle sitze ich fest. Wie mache ich hier weiter und nutze die letzte Feststellung oben?
