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Aufgabe:

Simultante Kongruenz lösen:

3x ≡ 2 (mod 5)

7x ≡ 4 (mod 11)


Problem/Ansatz:

Das kann man ja mit dem Chinesischer Restsatz lösen:

M = kgV (5, 11) = 5*11 = 55

\( \frac{55}{5} \) = 11 und \( \frac{55}{11} \) = 5

Mit dem euklidischen Algorithmus kommt man auf:

11=2*5+1 ⇒ 1=11-2*5=11-2*(5-0*11)=-2*5+1*11
5=5*1+0

Jetzt verstehe ich aber noch nicht wie es weitergeht bzw. wie ich nun auf die Lösung c komme?

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Bring erst einmal das System in folgende Form:

$$3x \equiv -2x \equiv 2\:(5) \Leftrightarrow \boxed{x\equiv -1 \:(5)}$$$$7x \equiv -4x \equiv 4\:(11) \Leftrightarrow \boxed{x\equiv -1 \:(11)}$$

Die Lösung wird jetzt wie folgt konstruiert, wobei \([a]_m^{-1}\) das multiplikative Inverse von \(a\) bzgl. des Moduls \(m\) ist:

$$x= (-1)\left[ \frac{55}5\right]_5^{-1}\frac{55}5 + (-1)\left[ \frac{55}{11}\right]_{11}^{-1}\frac{55}{11}$$

Die Inversen sind:

$$\frac{55}5 \equiv 11 \equiv 1\: (5)$$

$$\frac{55}{11} \equiv 5 \:(11)\stackrel{2\cdot 5=10}{\Longrightarrow} \left[ 5 \right]_{11}^{-1}\equiv -2 \: (11)$$

$$\Rightarrow x\equiv (-1)\cdot 1 \cdot 11 + (-1) \cdot (-2) \cdot 5 \equiv -1 \: (55)$$

Avatar von 10 k

Danke für die verständliche Antwort bzw. Erklärung☺

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