Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie eine Stammfunktion der Funktion

$\displaystyle f(x)=\frac{14 \cdot x+28}{x^{2}-49}$

Problem/Ansatz:

könnte mir hier jemand sagen was hier die stammfunktion davon ist und wie ihr hier vorgegangen seid.Ich bin verwirrt weil man hier die üblichen regeln nicht anwenden kann(bruch aufteilen etc) .

Answer 1

Aloha :)

Hier empfehle ich eine Partialbruchzerlegung:$$f(x)=\frac{14x+28}{x^2-49}=\pink{\frac{14x+28}{(x-7)\cdot(x+7)}=\frac{A}{(x-7)}+\frac{B}{(x+7)}}$$

Die Konstante $A$ erhalten wir, indem wir die pinke Gleichung mit $(x-7)$ multiplizieren und danach $(x=7)$ einsetzen:$$\left[\pink{\frac{14x+28}{(x+7)}=A+\frac{B}{(x+7)}}\cdot(x-7)\right]_{x=7}\implies\frac{126}{14}=A+0\implies A=9$$

Die Konstante $B$ erhalten wir, indem wir die pinke Gleichung mit $(x+7)$ multiplizieren und danach $(x=-7)$ einsetzen:$$\left[\pink{\frac{14x+28}{(x-7)}=\frac{A}{(x-7)}}\cdot(x+7)\pink{+B}\right]_{x=-7}\implies\frac{-70}{-14}=0+B\implies B=5$$

Damit haben wir die Zerlegung$$f(x)=\frac{9}{x-7}+\frac{5}{x+7}$$deren Stammfunktion wir direkt hinschreiben können:$$F(x)=9\cdot\ln|x-7|+5\cdot\ln|x+7|+\text{const}$$

Answer 2

mit Weg:

https://www.integralrechner.de/

Answer 3

Benutze zur Hilfe und Selbstkontrolle https://www.integralrechner.de/

Frag dann nochmals gezielter nach was du genau dort nicht verstehst.