Wie lange dauert es nach diesem Modell, bis mehr als 50 000 Tiere in der Stadt leben?

Question

In einer Stadt gibt es eine Rattenplage. Anhand von Stichproben schätzt man den Bestand derzeit auf

3500 Tiere.

Aufgrund der Bedingungen in der Kanalisation der Stadt geht man davon aus, dass die momentane Wachstumsgeschwindigkeit bei 200 Tieren pro Tag liegt.

b) Wie lange dauert es nach diesem Modell, bis mehr als 50 000 Tiere in der Stadt leben?

Answer 1

In einer Stadt gibt es eine Rattenplage. Anhand von Stichproben schätzt man den Bestand derzeit auf 3500 Tiere.

Aufgrund der Bedingungen in der Kanalisation der Stadt geht man davon aus, dass die momentane Wachstumsgeschwindigkeit bei 200 Tieren pro Tag liegt.

b) Wie lange dauert es nach diesem Modell, bis mehr als 50 000 Tiere in der Stadt leben?

f(x) = a·e^{k·x} 
f'(x) = a·k·e^{k·x}

Anfangsbestand

f(0) = a·e^{k·0} = 3500 → a = 3500

Anfängliche Änderungsrate

f'(0) = 3500·k·e^{k·0} = 200 --> k = 2/35

Wann sind es 50000 Tiere?

f(x) = 3500·e^{2/35·x} = 50000 --> x = 46.54 Tage

Es dauert also nur etwa 47 Tage bis sich die Ratten auf 50000 vermehrt haben.

Answer 2

f(t) = 3500*a^t

f '(t) = 3500*a^t*lna

f '(0) = 200

3500*a^0*lna = 200

lna = 200/3500 = 2/35

a= e^(2/35) = 1,058807... ( Zunahme um 5,88% pro Tag)

3500*a^t = 50000

t= ln(50000/3500)/ln a = 46,54 Tage

Answer 3

In einer Stadt gibt es eine Rattenplage.

Die Ratten vermehren sich exponentiell, also

        \(r(t) = a\cdot \mathrm{e}^{kt}\)

Bestand derzeit auf 3500 Tiere.

(1)        \(r(0) = 3500\)

momentane Wachstumsgeschwindigkeit bei 200 Tieren pro Tag

(2)        \(r'(0) = 200\)

Löse das Gleichungsystem (1), (2) um \(a\) und \(k\) zu bestimmen.

Wie lange dauert es nach diesem Modell, bis mehr als 50 000 Tiere in der Stadt leben?

Löse die Gleichung \(r(t) = 50000\).