Bilinearform mit Gramsche Matrix

Question

Aufgabe:

Bilinearform

Problem/Ansatz:

Aufgabe 7.3: (Abgabeaufgabe) Sei \( b \) die Bilinearform von \( \mathbb{R}^{3 \times 1} \mathrm{mit} \)

\( b\left(\left(\begin{array}{l}v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3}\end{array}\right)\right):=2 v_{1} w_{1}+v_{1} w_{2}+v_{2} w_{1}+2 v_{2} w_{2}-2 v_{2} w_{3}-2 v_{3} w_{2}+5 v_{3} w_{3} \)

(a) Bestimmen Sie die Gramsche Matrix \( G_{S}(b) \) von \( b \), wobei \( S=\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right) \).
(b) Zeigen Sie \( b(v, v)>0 \) für alle \( v \in \mathbb{R}^{3 \times 1} \).
(c) Berechnen Sie \( e_{1}^{\perp} \) und \( \left\{e_{1}, e_{3}\right\}^{\perp} \).
(d) Bestimmen Sie ein Koordinatensystem \( B \) von \( \mathbb{R}^{3 \times 1} \), so dass die Vektoren aus \( B \) paarweise auf einander senkrecht stehen. Uberprüfen Sie \( G_{B}(b)=\left(s^{\mathrm{id}_{B}}\right)^{\top} \cdot G_{S}(b) \cdot s^{\text {id }}{ }_{B} \).

Answer 1

(a):

Die Gram-Matrix ist die Matrix \((b(e_i,e_j))_{i,j=1,2,3}\).

Dies zu berechnen, dürfte kein Problem sein.

(b):

Mach dich schlau, wie du feststellen kannst, ob die Gram-Matrix

positiv definit ist.

(c):

Löse die zugehörigen linearen Gleichungssysteme.

(d):

\(b\) hat sich nun als Skalarprodukt herausgestellt. Also kannst du

\(\{e_1,e_2,e_3\}\) mit Gram-Schmidt in eine Orthogonalbasis verwandeln.

Oder du nutzt das Wissen aus c).