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Untersuchen Sie, ob folgende Mengen M ⊂ ℝ bezüglich der Ordungsrelation ≤ nach oben bzw.
unten beschränkt sind. Gegebenenfalls bestimme man das Supremum und Infimum sowie das Maximum und Minimum falls existent.

M = {\( \frac{n}{m} \) + \( \frac{m}{n} \) : n,m ∈ ℕ}

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Betrachte alle Paare ( 1;m) . Zu jedem davon gehört in

M dann 1/m + m . Deshalb wird durch die

Elemente von M jede natürliche Zahl m

überschritten ( wegen 1/m + m > m ), also

ist M nach oben unbeschränkt.

Nach unten nicht; denn insbesondere sind ja alle Elemente

positiv, also 0 eine untere Schranke.

Es sind sogar alle Elemente größer oder gleich 2:

n/m + m/n ≥ 2

<=>  n^2 + m^2 ≥ 2mn

<=>  n^2 -2mn + m^2 ≥ 0

<=>  (n-m)^2  ≥ 0  . Was offenbar immer stimmt.

Und es ist auch 2 die größte untere Schranke,

denn für alle m ist ja (m+1)/m + m/(m+1) in M

und  (m+1)/m + m/(m+1)

        = ((m+1)^2 + m^2 ) / (m*(m+1))

        = ( 2m^2 + 2m + 1 ) / ( m^2 + m )

       =  ( 2m^2 + 2m ) / ( m^2 + m )  +   1 / ( m^2 + m )

      =   2     +   1 / ( m^2 + m )

und jedes   x > 2 wird  also für

ein geeignetes m unterschritten.

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