Berechnen Sie den Grenzwert.

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Grenzwert (falls dieser existiert; andernfalls begrunden Sie, ¨
warum er nicht existiert):

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{5 n^{3}+3 n \cos (n)-7}{2 n^{2}+6 n}-\frac{5}{2} n\right) \)

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$\phantom=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{5n^3+3n\cos (n)-7}{2n^2+6n}-\frac{5n}{2}\right)$$$$=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{5n^3+3n\cos (n)-7}{2n^2+6n}-\frac{5n\cdot\pink{(n^2+3n)}}{2\cdot\pink{(n^2+3n)}}\right)$$$$=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{5n^3+3n\cos (n)-7}{2n^2+6n}-\frac{5n^3+15n^2}{2n^2+6n}\right)$$$$=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(5n^3+3n\cos (n)-7)-(5n^3+15n^2)}{2n^2+6n}$$$$=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{-15n^2+3n\cos (n)-7}{2n^2+6n}$$$$=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\pink{\frac{1}{n^2}}\left(-15n^2+3n\cos (n)-7\right)}{\pink{\frac{1}{n^2}}\left(2n^2+6n\right)}$$$$=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{-15+\frac{3\cos (n)}{n}-\frac{7}{n^2}}{2+\frac6n}=\frac{-15+0-0}{2+0}=-\frac{15}{2}$$

Beachte bei der Grenzwertbildung mit dem Cosinus, dass Folgendes giilt:$$|\cos(n)|\le1\implies\left|\frac{\cos(n)}{n}\right|\le\frac1n\stackrel{(n\to\infty)}{\to}0$$

Answer 2

Der Grenzwert einer Differenz zweier Funktionen entspricht der Differenz ihrer Grenzwerte. Der Grenzwert eines Produktes zweier Funktionen entspricht dem Produkt ihrer Grenzwerte. Der Grenzwert eines Quotienten zweier Funktionen entspricht dem Quotienten ihrer Grenzwerte.

Wende den L'Hospital 2-Mal an.

Comments

Wende den L'Hospital 2-Mal an.

Tipp: fasse die beiden Brüche zu einem zusammen und kürze anschließend durch \(n^2\).

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@ggT:

\(\infty - \infty\)?

Und worauf würdest du denn L'Hospital anwenden?