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Aufgabe:

Berechnen Sie den Mittelwertμ=1404f(x)dxder Funktion f : xx24x+1 u¨ber dem Intervall [0, 4]. Fu¨r welche ξ[0,4] gilt μ=f(ξ)?\text{Berechnen Sie den Mittelwert}\\ \mu=\frac{1}{4}\int \limits_{0}^{4}f(x)dx\\\text{der Funktion f:}x\mapsto x^2-4x+1 \text{ über dem Intervall [0, 4]. Für welche }\xi\in[0,4] \text{ gilt } \mu = f(\xi)?

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Aloha :)

Beim Integrieren von xnx^n musst du den Exponenten zuerst um 11 erhöhen und danach durch den neuen Exponenten dividieren, das gibt dann xn+1n+1\frac{x^{n+1}}{n+1}.

μ=1404(x24x+1)dx=1404(x24x+x0)dx=14[x334x22+x11]04\mu=\frac14\int\limits_0^4\left(x^2-4x+1\right)dx=\frac14\int\limits_0^4\left(x^2-4x+x^0\right)dx=\frac14\left[\frac{x^3}{3}-4\frac{x^2}{2}+\frac{x^1}{1}\right]_0^4μ=14[x332x2+x]04=14(64332+4)=14(643843)=53\phantom\mu=\frac14\left[\frac{x^3}{3}-2x^2+x\right]_0^4=\frac14\left(\frac{64}{3}-32+4\right)=\frac14\left(\frac{64}{3}-\frac{84}{3}\right)=-\frac53

Die gesuchten ξ[0;4]\xi\in[0;4] sind also die Lösungen von:x24x+1=53+3x^2-4x+1=-\frac53\quad\bigg|+3ξ24ξ+4=432-te binomische Formel links\xi^2-4\xi+4=\frac43\quad\bigg|\text{2-te binomische Formel links}(ξ2)2=43(\xi-2)^2=\frac43\quad\bigg|\sqrt{\cdots}ξ2=±23+2\xi-2=\pm\frac{2}{\sqrt3}\quad\bigg|+2ξ=2±23\xi=2\pm\frac{2}{\sqrt3}

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Super, vielen vielen Dank! :)

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Hallo

 1. das Integral ist doch leicht warum es nicht einfach ausrechnen? wenn du μ hast setze es in die Gleichung x2−4x+1=μ ein und löse die quadratische Gleichung.

Da du keine Frage gestellt hast, weiss ich nicht, was du nicht kannst.

lul

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