Reelle Zahlen Summenzeichen. Zeige: ∑^5 i=1 (xi- 1/5 ∑^5 j=1 xj) = 0

Question

Zeigen Sie, dass für beliebige reelle Zahlen x1; : : : ; x5 gilt

 

a) ∑⁵_i=1 ⟨x_i- 1/5 ∑⁵_j=1  x_j⟩  = 0

b) ∑⁵_i=1 ⟨x_i- 1/5 ∑⁵_j=1  x_j⟩² = ∑⁵_i=1 x_i² - 1/5 (∑⁵_i=1  x_i )²

Gelten diese Aussagen auch noch, wenn 5 durch eine beliebige natürliche Zahl n ersetzt wird?

Answer 1

a)

$$\sum _{ i=1 }^{ 5 }{ { \left( { x }_{ i }-\frac { 1 }{ 5 } \sum _{ j=1 }^{ 5 }{ { x }_{ j } }  \right)  } }$$$$=\sum _{ i=1 }^{ 5 }{ { { x }_{ i }-\frac { 1 }{ 5 } \sum _{ i=1 }^{ 5 }{ \sum _{ j=1 }^{ 5 }{ { x }_{ j } }  }  } }$$$$=\sum _{ i=1 }^{ 5 }{ { { x }_{ i }-\frac { 1 }{ 5 } 5\sum _{ j=1 }^{ 5 }{ { x }_{ j } }  } }$$$$=\sum _{ i=1 }^{ 5 }{ { { x }_{ i }-\sum _{ j=1 }^{ 5 }{ { x }_{ j } }  } }$$$$=\sum _{ i=1 }^{ 5 }{ { { x }_{ i }-\sum _{ i=1 }^{ 5 }{ { x }_{ i } }  } }$$$$=\sum _{ i=1 }^{ 5 }{ { { (x }_{ i }-{ x }_{ i }) } }$$$$=\sum _{ i=1 }^{ 5 }{ { { 0 } } }$$$$=0$$

b)

$$\sum _{ i=1 }^{ 5 }{ { { \left( { x }_{ i }-\frac { 1 }{ 5 } \sum _{ j=1 }^{ 5 }{ { x }_{ j } }  \right)  }^{ 2 } } }$$$$=\sum _{ i=1 }^{ 5 }{ { { \left( { { x }_{ i }^{ 2 } }-\frac { 2 }{ 5 } { x }_{ i }*\sum _{ j=1 }^{ 5 }{ { x }_{ j } } +\frac { 1 }{ 25 } { \left( \sum _{ j=1 }^{ 5 }{ { x }_{ j } }  \right)  }^{ 2 } \right)  } } }$$$$=\sum _{ i=1 }^{ 5 }{ { x }_{ i }^{ 2 }-\sum _{ i=1 }^{ 5 }{ \frac { 2 }{ 5 } { x }_{ i }*\sum _{ j=1 }^{ 5 }{ { x }_{ j } }  } +\sum _{ i=1 }^{ 5 }{ \frac { 1 }{ 25 } { \left( \sum _{ j=1 }^{ 5 }{ { x }_{ j } }  \right)  }^{ 2 } }  }$$$$=\sum _{ i=1 }^{ 5 }{ { x }_{ i }^{ 2 }-\frac { 2 }{ 5 } \sum _{ i=1 }^{ 5 }{ { x }_{ i }*\sum _{ i=1 }^{ 5 }{ { x }_{ i } }  } +\frac { 1 }{ 25 } \sum _{ i=1 }^{ 5 }{ { \left( \sum _{ j=1 }^{ 5 }{ { x }_{ j } }  \right)  }^{ 2 } }  }$$$$=\sum _{ i=1 }^{ 5 }{ { x }_{ i }^{ 2 }-\frac { 2 }{ 5 } { \left( \sum _{ i=1 }^{ 5 }{ { x }_{ i } }  \right)  }^{ 2 }+\frac { 1 }{ 5 } { \left( \sum _{ i=1 }^{ 5 }{ { x }_{ i } }  \right)  }^{ 2 } }$$$$=\sum _{ i=1 }^{ 5 }{ { x }_{ i }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 5 } { \left( \sum _{ i=1 }^{ 5 }{ { x }_{ i } }  \right)  }^{ 2 } }$$

Gelten diese Aussagen auch noch, wenn 5 durch eine beliebige natürliche Zahl n ersetzt wird?

Ich sehe nicht, warum diese Aussagen nicht auch für eine beliebige natürliche Zahl n anstelle der 5 gelten sollten ... also ist meine Antwort: Ja.

Answer 2

Hier kannst du die Summen einfach ausschreiben

a) ∑⁵_i=1 ⟨x_i- 1/5 ∑⁵_j=1  x_j⟩ 

= (x1- 1/5(x1+x2+x3+x4+x5) + x2 - 1/5(x1+x2+x3+x4+x5) + x3 - 1/5(x1+x2+x3+x4+x5)  + x4 - 1/5(x1+x2+x3+x4+x5) + x5- 1/5(x1+x2+x3+x4+x5) )

| die 5 Klammern zusammenfassen

= x1+x2+x3+x4+x5 - (x1+x2+x3+x4+x5) 

= 0

 

b) ∑⁵_i=1 ⟨x_i- 1/5 ∑⁵_j=1  x_j⟩² = ∑⁵_i=1 x_i² - 1/5 (∑⁵_i=1  x_i )²

HIer kannst du genau so alles ausschreiben. Gibt etwas mehr Schreibarbeit.

Wenn n gegen unendlich geht, sind diese Formeln wohl nicht immer gültig. Der Grenzwert 

limes (n gegen unendlich) 1/n (x1+x2+x3+x4+ .. +xn)  muss wohl z.B. existieren.

Comments

Vielen, vielen Dank für deine Hilfe

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@ Lu:

Wenn n gegen unendlich geht, ...

Davon war allerdings nicht die Rede. Die 5 sollte durch eine beliebige, aber feste natürliche Zahl n eretzt werden.

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Danke. Für andere feste n stimmen die Formeln.

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@Lu: Wieso stimmen dann die Formeln?

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Dann kannst du bei allen Umformungen von JotEs über die Summenzeichen ein n und vor die Summenzeichen anstelle von 1/5 den Bruch 1/n schreiben.