Untervektorraum f(-x) und -f(-x)

Question

Eine Funktion $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ heißt gerade (bzw. ungerade), falls $f(x)=f(-x$ ) für alle $x \in \mathbb{R}$ (bzw. $f(x)=-f(-x)$ für alle $x \in \mathbb{R}$ ). Die Menge der geraden (bzw. ungeraden) Funktionen werde mit $G$ (bzw. $U)$ bezeichnet. Zeigen Sie:

(a) $G$ und $U$ sind Untervektorräume des $\mathbb{R}$-Vektorraums $M(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.
(b) Der von $U \cup G$ aufgespannte Unterraum von $M(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ ist $M(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.
(c) Es gilt $U \cap G=\{0\}$
Außerdem gilt $f(x)=\frac{1}{2}(f(x)+f(-x))+\frac{1}{2}(f(x)-f(-x))$ für alle $x \in \mathbb{R}$.

Kann wer die Aufgaben erklären und lösen? Verstehe denn Sinn hinter f(-x) und -f(-x) nicht.

Answer 1

zu  "Verstehe denn Sinn hinter f(-x) und -f(-x) nicht."

Bedenke: x und -x liegen auf der x-Achse punktsymmetrisch zu 0.

Wenn also f(x)=f(-x) gilt, dann bedeutet das doch: Bei x und bei -x

ist der gleiche Funktionswert, also der Graph achsensymmetrisch

zur y-Achse.

Entsprechend punktsymmetrisch zu (0;0) bei f(-x) = -f(x) oder

eben f(x) = -f(-x).

a)  Prüfe dir bekannte Unterraumkriterien. Eine Eigenschaft muss wohl sein:

f∈G und h∈G ==>   f+h ∈G. Das beweist du z.B. so:

Seien f∈G und h∈G. Dann gilt für alle $x \in \mathbb{R}$

f(x) = f(-x) und h(x) = h ( -x). Also auch

(f+g)(x) wegen Def. von + für Abb'en

= f(x)+g(x)   dann nach Vor

= f(-x)+g(-x) wegen Def. von + für Abb'en

= (f+g)(-x)   Also f+h ∈G.   etc.

zu b) siehe   https://de.wikipedia.org/wiki/Gerade_und_ungerade_Funktionen#Zerlegu…

Answer 2

Tipp:

Ist $f:\;\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, so ist

$x\mapsto f(x)+f(-x) \in G$ und $x\mapsto f(x)-f(-x) \in U$.