Aloha :)
Die beiden von dir genannten Integrale sollen über die Menge B2 integriert werden. Dabei handelt es sich um einen Kreis mit Radius 2. Diesen Kreis können wir mit einem Ortsvektor r in Polarkoordinaten abtasten:r=(rcosφrsinφ);r∈[0;2];φ∈[0;2π]
Dabei müssen wir natürlich auch das Flächenelement transformieren:drdφdxdy=∣∣∣∣∣∣∂r∂x∂r∂y∂φ∂x∂φ∂y∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣cosφsinφ−rsinφrcosφ∣∣∣∣∣∣=rcos2φ+rsin2φ=rMit dxdy=rdrdφ können wir die integrale nun wie folgt schreiben:
I2=B2∬1+x2+y21dxdy=r=0∫2φ=0∫2π1+r21rdrdφ=φ=0∫2πdφ⋅21r=0∫21+r22rdrI2=2π⋅21[ln∣1+r2∣]r=02=πln(5)
I3=B2∬xydxdy=r=0∫2φ=0∫2πr2cosφsinφrdrdφ=21=0φ=0∫2πsin(2φ)dφ⋅r=0∫2r3dr=0