Berechnung von Mehrfachintegrale / Grenzen ermitteln

Question

Frage: Könnte mir bitte jemand beim zweiten und dritten Integral weiterhelfen. Wie soll ich das integrieren bzw. wie komm ich auf die Grenzen beim letzten Integral?

Aufgabe:

Hinweis: Man kann sich oft Arbeit sparen, wenn man sich zuerst Gedanken über die Form der Integrationsbereiche, die verwendeten Koordinaten und die Integrationsreihenfolge macht. Manchmal kann man den Wert des Integrals sogar ohne jegliche Rechnung erkennen.
Aufgabe 12.1. Berechnen Sie die Integrale
$\iint_{B_{1}} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, \quad \iint_{B_{2}} \frac{1}{1+x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \quad \text { und } \quad \iint_{B_{2}} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$
wobei $B_{1}$ das Dreieck mit den Eckpunkten $(0,0),(1,0)$ und $(1,1)$ bezeichnet und $B_{2}$ der Kreis mit Radius 2 um den Koordinatenursprung ist.

Answer 1

Aloha :)

Die beiden von dir genannten Integrale sollen über die Menge $B_2$ integriert werden. Dabei handelt es sich um einen Kreis mit Radius $2$. Diesen Kreis können wir mit einem Ortsvektor $\vec r$ in Polarkoordinaten abtasten:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;2]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$

Dabei müssen wir natürlich auch das Flächenelement transformieren:$$\frac{dx\,dy}{dr\,d\varphi}=\left|\begin{array}{rr}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial\varphi}\\[1ex]\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial\varphi}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rr}\cos\varphi & -r\sin\varphi\\[1ex]\sin\varphi & r\cos\varphi\end{array}\right|=r\cos^2\varphi+r\sin^2\varphi=r$$Mit $dx\,dy=r\,dr\,d\varphi$ können wir die integrale nun wie folgt schreiben:

$$I_2=\iint\limits_{B_2}\frac{1}{1+x^2+y^2}\,dx\,dy=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\frac{1}{1+r^2}\,r\,dr\,d\varphi=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\cdot\frac12\int\limits_{r=0}^2\frac{2r}{1+r^2}\,dr$$$$\phantom{I_2}=2\pi\cdot\frac12\left[\ln|1+r^2|\right]_{r=0}^2=\pi\ln(5)$$

$$I_3=\iint\limits_{B_2}xy\,dx\,dy=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}r^2\cos\varphi\sin\varphi\,r\,dr\,d\varphi=\frac12\underbrace{\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\sin(2\varphi)\,d\varphi}_{=0}\cdot\int\limits_{r=0}^2r^3\,dr=0$$