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Frage: Könnte mir bitte jemand beim zweiten und dritten Integral weiterhelfen. Wie soll ich das integrieren bzw. wie komm ich auf die Grenzen beim letzten Integral?

Aufgabe:

Hinweis: Man kann sich oft Arbeit sparen, wenn man sich zuerst Gedanken über die Form der Integrationsbereiche, die verwendeten Koordinaten und die Integrationsreihenfolge macht. Manchmal kann man den Wert des Integrals sogar ohne jegliche Rechnung erkennen.
Aufgabe 12.1. Berechnen Sie die Integrale
B11x2 dx dy,B211+x2+y2 dx dy und B2xy dx dy \iint_{B_{1}} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, \quad \iint_{B_{2}} \frac{1}{1+x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \quad \text { und } \quad \iint_{B_{2}} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
wobei B1 B_{1} das Dreieck mit den Eckpunkten (0,0),(1,0) (0,0),(1,0) und (1,1) (1,1) bezeichnet und B2 B_{2} der Kreis mit Radius 2 um den Koordinatenursprung ist.

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Aloha :)

Die beiden von dir genannten Integrale sollen über die Menge B2B_2 integriert werden. Dabei handelt es sich um einen Kreis mit Radius 22. Diesen Kreis können wir mit einem Ortsvektor r\vec r in Polarkoordinaten abtasten:r=(rcosφrsinφ);r[0;2];φ[0;2π]\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;2]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]

Dabei müssen wir natürlich auch das Flächenelement transformieren:dxdydrdφ=xrxφyryφ=cosφrsinφsinφrcosφ=rcos2φ+rsin2φ=r\frac{dx\,dy}{dr\,d\varphi}=\left|\begin{array}{rr}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial\varphi}\\[1ex]\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial\varphi}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rr}\cos\varphi & -r\sin\varphi\\[1ex]\sin\varphi & r\cos\varphi\end{array}\right|=r\cos^2\varphi+r\sin^2\varphi=rMit dxdy=rdrdφdx\,dy=r\,dr\,d\varphi können wir die integrale nun wie folgt schreiben:

I2=B211+x2+y2dxdy=r=02  φ=02π11+r2rdrdφ=φ=02πdφ12r=022r1+r2drI_2=\iint\limits_{B_2}\frac{1}{1+x^2+y^2}\,dx\,dy=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\frac{1}{1+r^2}\,r\,dr\,d\varphi=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\cdot\frac12\int\limits_{r=0}^2\frac{2r}{1+r^2}\,drI2=2π12[ln1+r2]r=02=πln(5)\phantom{I_2}=2\pi\cdot\frac12\left[\ln|1+r^2|\right]_{r=0}^2=\pi\ln(5)

I3=B2xydxdy=r=02  φ=02πr2cosφsinφrdrdφ=12φ=02πsin(2φ)dφ=0r=02r3dr=0I_3=\iint\limits_{B_2}xy\,dx\,dy=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}r^2\cos\varphi\sin\varphi\,r\,dr\,d\varphi=\frac12\underbrace{\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\sin(2\varphi)\,d\varphi}_{=0}\cdot\int\limits_{r=0}^2r^3\,dr=0

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