Bestimmen Sie das charakteristische Polynom und Hauptvektoren

Question

Ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabe:

Es sei A ∈ Matℝ(4,4) mit

Text erkannt:

Es sei \( A \in \operatorname{Mat}_{\mathbb{R}}(4,4) \) mit
\( A=\left(\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & 3 & -1 \end{array}\right) \)

a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom

b) Bestimmen Sie die algebraische und geometrische Vielfachheit der Eigenwerte -1 und 2 und geben sie Basen der zugehörigen Eigenräume an

c) Ergänzen Sie die Basen aus b) durch Hauptvektoren von A zu einer Basis des ℝ4

d) Wie lautet die Jordan-Normalform von A?

Answer 1

Wo liegen genau deine Probleme. Bei a) ziehst du in der Hauptdiagonalen k ab und bildest dann die Determinante.

a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom

DET([0 - k, 1, 0, 0; 0, 0 - k, 1, 0; 0, 0, 0 - k, 1; 2, 5, 3, -1 - k]) = k^4 + k^3 - 3·k^2 - 5·k - 2 = (k - 2)·(k + 1)^3

Damit kannst du jetzt auch b) machen oder nicht?

Comments

Genau, danke. Wie muss ich jetzt bei c vorgehen? Was sind da meine Hauptvektoren oder wie komme ich auf diese?

Danke nochmal.