Gib die Abbildungsvorschrift der zu f inversen Abbildung an

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},{ }^{t}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mapsto^{t}\left(-x_{1}+x_{2}, 2 x_{1}-\right. \) \( \left.x_{2}+3 x_{3},-4 x_{1}+3 x_{3}\right) \). Gib die Abbildungsvorschrift der zu \( f \) inversen Abbildung an.

Problem/Ansatz:

Die inverse Matrix habe ich schon mittles Gauß-Jordan-Verfahren bestimmt - diese lautet: \( \begin{pmatrix} 1/5 & 1/5 & -1/5  \\ 6/5 & 1/5 & -1/5 \\ 4/15 & 4/15 & 1/15 \end{pmatrix} \)

Wie bestimmt man jetzt aber die Abbildungsvorschrift und was ist genau darunter zu verstehen?

Muss ich jetzt dafür \( f\left(\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)\right)=A^{-1}\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right) \) bestimmen?

Danke für Hilfe ☺

Answer 1

Gegeben sei die lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}\).

Die Abbildungsvorschrift kann in der Form

        \(x\mapsto Ax\)

mit \(A\in\mathbb{R}^{3\times 3}\) geschrieben werden.

Gib die Abbildungsvorschrift der zu \( f \) inversen Abbildung an.

Die ist

        \(x\mapsto A^{-1}x\).