Bestimmen Sie alle möglichen Polynome b2(x) ∈ ℝ2[x] die auf die gegebene Gramsche Matrix führen.

Question

Text erkannt:

Auf dem Vektorraum $\mathbb{R}_{n}[x]$ der reellen Polynome maximal $n$-ten Grades sei das Skalarprodukt
$\langle f, g\rangle:=\int \limits_{-1}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x$
gegeben.
Beweisen Sie, dass für beliebiges $n \geqslant 1$ die Gramsche Matrix $G=\left[g_{j k}\right] \in M(n+1 \times$ $n+1, \mathbb{R})$ zur Monombasis $p_{0}(x)=1, p_{1}(x)=x, \ldots$ des $\mathbb{R}_{n}[x]$ gegeben ist durch
$g_{j k}=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { falls } j+k-1 \text { gerade } \\ \frac{2}{j+k-1} & \text { falls } j+k-1 \text { ungerade. } \end{array}\right.$
Sei nun $n=2$ und $b_{0}(x)=-2, b_{1}(x)=x-1, b_{2}(x)$ eine Basis von $\mathbb{R}_{2}[x]$ mit der zugehörigen Gramschen Matrix
$G=\left[\begin{array}{ccc} \left\langle b_{0}, b_{0}\right\rangle & \left\langle b_{0}, b_{1}\right\rangle & \left\langle b_{0}, b_{2}\right\rangle \\ \left\langle b_{1}, b_{0}\right\rangle & \left\langle b_{1}, b_{1}\right\rangle & \left\langle b_{1}, b_{2}\right\rangle \\ \left\langle b_{2}, b_{0}\right\rangle & \left\langle b_{2}, b_{1}\right\rangle & \left\langle b_{2}, b_{2}\right\rangle \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 8 & 4 & -16 / 3 \\ 4 & 8 / 3 & -4 \\ -16 / 3 & -4 & 32 / 5 \end{array}\right]$
Bestimmen Sie alle möglichen Polynome $b_{2}(x) \in \mathbb{R}_{2}[x]$ die auf die gegebene Gramsche Matrix führen. Gehen Sie dazu wie folgt vor:
(i) Bestimmen Sie zunächst alle möglichen Polynome $q(x)=a x^{2}+b x+c \in \mathbb{R}_{2}[x]$ mit $\left\langle b_{0}, q\right\rangle=-16 / 3$ und $\left\langle b_{1}, q\right\rangle=-4$. Stellen Sie zur Bestimmung von $a, b, c$ ein lineares Gleichungssystem auf, lösen Sie dieses und charakterisieren Sie die Lösungsmenge ggf. mithilfe eines Parameters $\lambda$.
(ii) Nutzen Sie die in $(i)$ bestimmte Lösungsmenge um alle möglichen $q(x)$ zu finden, die zusätzlich zu den Bedingungen aus $(i)$ die Forderung $\langle q, q\rangle=32 / 5$ erfüllen.

Problem/Ansatz:

Hat hier jemand einen Ansatz bzw eine kleine Anleitung für mich. Ich habe absolut keine Idee, möchte es dennoch gerne alleine schaffen. Vielen Dank im Voraus.

LG Wurst

Answer 1

Für das erste sind die Skalarprodukte $g_{j,k}=(p_{j-1},\, p_{k-1})$ auszurechnen. Was erhältst Du da?
Für den Rest steht die Anleitung in der Aufgabenstellung. Da müsstest Du schon konkreter sagen, wo Dein Problem ist.