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Aufgabe 12.1. [Integration über schlichte Gebiete] Es seien
\( M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0<y<4, \sqrt{y}<x<\sqrt{20-y^{2}}\right\} \)
und \( f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \backslash\{-5\} \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)=\frac{x}{y+5} \) gegeben. Berechnen Sie
\( \int \limits_{M} f \mathrm{~d}(x, y) \text {. } \)
Fertigen Sie eine Skizze von \( M \) an.
Problem/Ansatz:
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Aufgabe 1: \( \quad \int \limits_{n} f d(x, y) \)
\( \int \limits_{M} f d(x, y)=\iint_{M} f(x, y) d y d x \)
Nach y: \( \iint_{\pi} f(x, y) d y d x=\int[0,4] \int\left[\sqrt{y}, \sqrt{20-y^{2}}\right] f(x, y) d x d y \)
\( \iint_{\pi} f(x, y) d y d x=\int[0,4] \int\left[\sqrt{y}, \sqrt{20-y^{2}}\right] \frac{x}{y+5} d x d y \)
\( \begin{array}{l} \text { Nach } x: \int\left[\sqrt{y}, \sqrt{20-y^{2}}\right] \frac{x}{y+5} d x=\left.[\ln |y+5| x]\right|_{\sqrt{y}} ^{\sqrt{20-y^{2}}} \\ =\ln \left|\sqrt{20-y^{2}}+5\right|-\ln |\sqrt{y}+5| \\ \end{array} \)
\( \begin{array}{l} \iint_{M} f(x, y) d y d x=\int[0,4] \ln \left|\sqrt{20-y^{2}}+5\right|-\ln |\sqrt{y}+5| d y \\ =\left.\left[y \ln \left|\sqrt{20-y^{2}}+5\right|-y \ln |\sqrt{y}+5|\right]\right|_{y=0} ^{y=4} \\ =4 \ln |\sqrt{20-16}+5|-4 \ln |\sqrt{4}+5| \\ =4 \ln |9|-4 \ln |7| . \end{array} \)
fertige eine stizze von M?
