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Aufgabe 12.1. [Integration über schlichte Gebiete] Es seien
M={(x,y)R20<y<4,y<x<20y2} M=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0<y<4, \sqrt{y}<x<\sqrt{20-y^{2}}\right\}
und f : R×R\{5}R,f(x,y)=xy+5 f: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \backslash\{-5\} \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)=\frac{x}{y+5} gegeben. Berechnen Sie
Mf d(x,y) \int \limits_{M} f \mathrm{~d}(x, y) \text {. }
Fertigen Sie eine Skizze von M M an.



Problem/Ansatz:

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Aufgabe 1: nfd(x,y) \quad \int \limits_{n} f d(x, y)
Mfd(x,y)=Mf(x,y)dydx \int \limits_{M} f d(x, y)=\iint_{M} f(x, y) d y d x
Nach y: πf(x,y)dydx=[0,4][y,20y2]f(x,y)dxdy \iint_{\pi} f(x, y) d y d x=\int[0,4] \int\left[\sqrt{y}, \sqrt{20-y^{2}}\right] f(x, y) d x d y
πf(x,y)dydx=[0,4][y,20y2]xy+5dxdy \iint_{\pi} f(x, y) d y d x=\int[0,4] \int\left[\sqrt{y}, \sqrt{20-y^{2}}\right] \frac{x}{y+5} d x d y
 Nach x : [y,20y2]xy+5dx=[lny+5x]y20y2=ln20y2+5lny+5 \begin{array}{l} \text { Nach } x: \int\left[\sqrt{y}, \sqrt{20-y^{2}}\right] \frac{x}{y+5} d x=\left.[\ln |y+5| x]\right|_{\sqrt{y}} ^{\sqrt{20-y^{2}}} \\ =\ln \left|\sqrt{20-y^{2}}+5\right|-\ln |\sqrt{y}+5| \\ \end{array}
Mf(x,y)dydx=[0,4]ln20y2+5lny+5dy=[yln20y2+5ylny+5]y=0y=4=4ln2016+54ln4+5=4ln94ln7. \begin{array}{l} \iint_{M} f(x, y) d y d x=\int[0,4] \ln \left|\sqrt{20-y^{2}}+5\right|-\ln |\sqrt{y}+5| d y \\ =\left.\left[y \ln \left|\sqrt{20-y^{2}}+5\right|-y \ln |\sqrt{y}+5|\right]\right|_{y=0} ^{y=4} \\ =4 \ln |\sqrt{20-16}+5|-4 \ln |\sqrt{4}+5| \\ =4 \ln |9|-4 \ln |7| . \end{array}
fertige eine stizze von M?

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∫x dx = x2/2

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo

den Fehler beim integrieren hat dir schon gase gesagt.

zeichnen M: zeichne die Grenzkurveb y=4, y=x2, x2+y2=20 und schraffiere dann nach den < Beziehungen,

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

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