Zeigen Sie, dass zu jedem P ∈ ℝ2 genau ein Tripel (pA, pB, pC) ∈ ℝ3 mit

Question

ich brauche diese Teilaufgabe für die nächste Aufgabe

8.2 Seien $A, B, C \in \mathbb{R}^{2}$ in allgemeiner Lage. Zeigen Sie, dass zu jedem $P \in \mathbb{R}^{2}$ genau ein Tripel $\left(p_{A}, p_{B}, p_{C}\right) \in \mathbb{R}^{3}$ mit

$P=p_{A} A+p_{B} B+p_{C} C \text { und } p_{A}+p_{B}+p_{C}=1$
existiert.

Vllt kann mir ja jemand helfen.

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Answer 1

Ich identifiziere Punkte der reellen Ebene $E:=\mathbb{R}^2$ mit

den entsprechenden Ortsvektoren. Die allgemeine Lage

der 3 Punkte A,B,C bedeutet, dass $\{A-C,B-C\}$ linear

unabhängig ist, also eine Basis von $E$.

Es gibt daher eindeutig bestimmte reelle Zahlen

$p_A$ und $p_B$, so dass

$P-C=p_A(A-C)+p_B(B-C)$ ist, also

$P=p_A(A-C)+p_B(B-C)+C=p_AA+p_BB+(1-p_A-p_B)C$,

q.e.d.