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Aufgabe: Wenn ich folgende darstellende Matrix habe: (abba) \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}

mit folgender Abbildung mα : ℂ → ℂ; z → α*z

Und ich herausfinden soll, für welche α ∈ ℂ diese Matrix für mα  diagonalisierbar ist.


Problem/Ansatz:

Frage ich mich, ob es reicht die det(MB,B (mα)) zu bestimmen und anhand derer zu zeigen, dass das charakteristische Polynom zerfällt oder eben nicht für die Diagonalisierbarkeit?

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Das charakteristische Polynom ist

x22ax+(a2+b2)x^2-2ax+(a^2+b^2). Die Nullstellen sind a±b2=a±bia\pm\sqrt{-b^2}=a\pm bi,

also genau dann reell, wenn b=0b=0 ist.

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