Diagonalisierbarkeit der darstellenden Matrix

Question

Aufgabe: Wenn ich folgende darstellende Matrix habe: $\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$

mit folgender Abbildung m_α : ℂ → ℂ; z → α*z

Und ich herausfinden soll, für welche α ∈ ℂ diese Matrix für m_α  diagonalisierbar ist.

Problem/Ansatz:

Frage ich mich, ob es reicht die det(M_B,B (m_α)) zu bestimmen und anhand derer zu zeigen, dass das charakteristische Polynom zerfällt oder eben nicht für die Diagonalisierbarkeit?

Answer 1

Das charakteristische Polynom ist

$x^2-2ax+(a^2+b^2)$. Die Nullstellen sind $a\pm\sqrt{-b^2}=a\pm bi$,

also genau dann reell, wenn $b=0$ ist.