lokalen Extrema der Funktion bestimmen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 3 (Lokale Extrema).
(14 Punkte)
Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}, f(x):=\sqrt{x}+\sqrt{4-2 x}$.
(Dazu gehört die Bestimmung der Extremstellen, -werte und Arten der Extrema).

Problem/Ansatz:

Hallo Leute,

ich scheiter gerade an dieser Aufgabe. Ich habe Schwierigkeiten f '(x) = 0 auszurechen.

Es wäre super Hilfreich, wenn mir jemand die notwendige Bedingung bezüglich dieser Aufgabe erläutern würde!

Vielen Dank!!

Answer 1

$\begin{aligned} & & f(x) & =\sqrt{x}+\sqrt{4-2x}\\ & \implies & f(x) & =x^{\frac{1}{2}}+\left(4-2x\right)^{\frac{1}{2}}\\ & \implies & f'(x) & =\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\left(4-2x\right)^{-\frac{1}{2}}\cdot\left(-2\right)\\ & & & =\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}-\left(4-2x\right)^{-\frac{1}{2}}\\ \\ & & f'(x) & =0\\ & \iff & 0 & =\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}-\left(4-2x\right)^{-\frac{1}{2}}\\ & \iff & 0 & =\frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{\left(4-2x\right)^{\frac{1}{2}}}\\ & \iff & 0 & =\frac{\left(4-2x\right)^{\frac{1}{2}}-2x^{\frac{1}{2}}}{2x^{\frac{1}{2}}\left(4-2x\right)^{\frac{1}{2}}}\\ & \iff & 0 & =\left(4-2x\right)^{\frac{1}{2}}-2x^{\frac{1}{2}}\wedge x\neq0\wedge4-2x\neq0\\ & \iff & 2x^{\frac{1}{2}} & =\left(4-2x\right)^{\frac{1}{2}}\wedge x\neq0\wedge4-2x\neq0\\ & \iff & 4x & =4-2x\wedge x>0\wedge4-2x>0\\ & \iff & x & =\frac{2}{3} \end{aligned}$

Answer 2

$f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}, f(x):=\sqrt{x}+\sqrt{4-2 x}$

$f´(x)= \frac{1}{2*\sqrt{x}} +\frac{-2}{2*\sqrt{4-2x}}=\frac{1}{2*\sqrt{x}} -\frac{1}{\sqrt{4-2x}}$

$\frac{1}{2*\sqrt{x}} -\frac{1}{\sqrt{4-2x}}=0$

$\frac{1}{2*\sqrt{x}} =\frac{1}{\sqrt{4-2x}} |*2*\sqrt{x}$

$1=\frac{2*\sqrt{x}}{\sqrt{4-2x}} |*\sqrt{4-2x}$

$\sqrt{4-2x} =2*\sqrt{x} | ^{2}$

$4-2x =4x$

$x=\frac{2}{3}$   ist ∈ $[0,1]$    $f(\frac{2}{3} )=\sqrt{\frac{2}{3}}+\sqrt{4-2*\frac{2}{3}} =\sqrt{6}≈2,45$

Art des Extremwertes:

$f´(x)=\frac{1}{2*\sqrt{x}} -\frac{1}{\sqrt{4-2x}}$

Bestimme nun die 2.Ableitung

 $f´´(\frac{2}{3})=a$  Ist $a >0$ so liegt ein Minimum vor,wenn $a <0$ ist es ein Maximum.