(ii) Für welches a ∈ ℝ hat \vec{v} ein Potential?

Question

Aufgabe:

$\vec{v}(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} a(x+3 y) \\ 6(x+3 y) \\ 2 z \end{array}\right), \quad(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}$

mit einem Parameter $a \in \mathbb{R}$ und die Kurve

$\vec{\gamma}(t)=\left(\begin{array}{c} \cos 2 t \\ \sin 2 t \\ e^{t} \end{array}\right), \quad t \in[0,2 \pi]$

(i) Berechnen Sie für alle $a \in \mathbb{R}$ das Kurvenintegral $\int \limits_{\vec{\gamma}} \vec{v} \cdot \overrightarrow{d s}$.

(ii) Für welches $a \in \mathbb{R}$ hat $\vec{v}$ ein Potential? Geben Sie für diesen Fall ein Potential an und berechnen Sie das Integral aus (i) nochmals mit Hilfe dieses Potentials.

Problem/Ansatz:

Kann einer bei dem 2. teil weiterhelfen

Answer 1

Hallo

bestimme v(γ(t)) und γ'(t), integriere das Skalarprodukt  nach dt von 0 bis 2pi

Gruß lul von

Comments

Text erkannt:

$S_{\vec{v}} \vec{v} \cdot d s=\int \limits_{0}^{2 \pi} \vec{v}(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}(t) t t \cdot t=\int \limits_{0}^{2 \pi}\left(\begin{array}{c}a(\cos (2 t)+\sin 2 t) \\ 6(\cos (2 t)+\sin 2 t) \\ 2 e^{t}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}-2 \sin (2 t) \\ 2 \cos (2 t) \\ e^{t}\end{array}\right) d t$

ich hab das so gemacht, aber komme nicht weiter.

Answer 2

Damit $\vec v$ ein Potential besitzt, muss ${\rm rot}\vec v=0$ sein. Schreib das hin, es sind drei Bedingungen. Danach kennst Du den gefragten Wert von $a$.

Zum Bestimmen des Potentials gibt es mehrere Möglichkeiten, u.a. eine schnelle für die, die verstanden haben, was eine Stammfunktion ist und eine rechenaufwendige für die anderen.

Bestimme erstmal das $a$.

Comments

können sie zeigen wie es geht, ich versteh es nicht so richtig bzw. kriege es nicht richtig hin.

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Was ist denn konkret dein Problem? Weißt du, was die Rotation ist, kannst du partiell ableiten? Wie weit bist du gekommen?

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Text erkannt:

Bedinasumpe rot $\vec{v}=0$
$\operatorname{rot} \vec{V}=\left(\begin{array}{l} \frac{\partial v_{3}}{\partial y}-\frac{\partial V_{2}}{\partial z} \\ \frac{\partial V_{1}}{\partial z}-\frac{\partial v_{3}}{\partial x} \\ \frac{\partial v_{2}}{\partial x}-\frac{\partial v_{1}}{\partial y} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0-0 \\ 0-0 \\ 6-3 a \end{array}\right)$

Wenn ich so die rotation nehme und a =2 ist , ist es richtig?

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Aha, siehste, geht doch. Soweit richtig. Wie habt ihr nun in der Vorlesung Potentiale (Stammfunktionen) bestimmt?

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Ich komm halt nicht an der letzen stelle hier weiter, gibt es einen weg,es "schön" zu berechnen

Text erkannt:

$S_{\vec{v}} \vec{v} \cdot d s=\int \limits_{0}^{2 \pi} \vec{v}(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}(t) t t \cdot t=\int \limits_{0}^{2 \pi}\left(\begin{array}{c}a(\cos (2 t)+\sin 2 t) \\ 6(\cos (2 t)+\sin 2 t) \\ 2 e^{t}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}-2 \sin (2 t) \\ 2 \cos (2 t) \\ e^{t}\end{array}\right) d t$

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Moment mal, jetzt bist du bei (i). Eben waren wir bei (ii).

Aber egal: hast du an dieser Stelle schon aufgegeben? Rechne weiter, fasse zusammen (Tipp: trig. Pythagoras).

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Bei aufgabe ii) muss man ja exakt das gleiche nochmal mit a ausrechnen und in beiden teilen komme ich nach dem aufstellen an dieser stelle nicht weiter

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Nein, nicht das gleiche nochmal: in (i) ist ein Kurvenintegral zu berechnen, das ist eine Zahl (die hier noch von $a$ abhängt). In (ii) eine Stammfunktion, das ist eine Funktion, das ist eine völlig andere Rechnung.

Wie's weitergeht, sagte ich ja: weiterrechnen, Skalarprodukt usw.

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hallo

bilde doch das Skalarprodukt, Wenn du danach Schwierigkeiten hast, sieh trigonometrische Formelsammlung nach oder lass dir von Integralrechner.de helfen, der zeigt auch den Rechenweg.

lul

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Zur Kontrolle: Ich komme auf $-6\pi(a-2)+e^{4\pi-1}$ (ohne Gewähr, ist mühselig, braucht aber keine besonderen Integrationstricks). Die Formel $\sin (4t) =2\sin (2t)\cos (2t)$ hilft (etwas).

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Hallo

Probe, für a=2 muss es ja unabhängig vom Weg sein d.h, direkt nach (1,0,e^t)

dann sieht man auch den Tipfehler : e^4π -1

Gruß lul

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@lul danke. Also nochmal ordentlich: Ergebnis ist $-6\pi(a-2)+e^{4\pi}-1$.