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Aufgabe:

Bestimme \( \alpha \in \mathbb{R} \) so, dass das Vektorfeld \( F : \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) gegeben durch

\( F(x, y, z)=\left(y^{2} z, \alpha x y z, x y^{2}+2 z^{2}\right) \)

ein Potential besitzt und berechne dies.

Berechne für dieses α das Kurvenintegral

\( \int_{\gamma}\langle F, d s\rangle \)

mit \( \gamma(t)=\left(\cos ^{3} t, \sin ^{2} t, t^{2}\right), \quad t \in[0, \pi] \) gegeben ist.


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1 Antwort

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Aloha :)

Damit das Vektorfeld \(F\) ein Potential besitzt, muss seine Rotation verschinden:

$$\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)=\mbox{rot}\,F=\left(\begin{array}{c}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}y^2z\\\alpha xyz\\xy^2+2z^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\partial_y(xy^2+2z^2)-\partial_z(\alpha xyz)\\\partial_z(y^2z)-\partial_x(xy^2+2z^2)\\\partial_x(\alpha xyz)-\partial_y(y^2z)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2xy-\alpha xy\\0\\\alpha yz-2yz\end{array}\right)$$Diese Gleichung ist nur für \(\alpha=2\) erfüllt. Das zugehörige Potential kannst du bestimmen, indem du einen beliebigen Startpunkt fest wählst, ideal ist hier der Nullpunkt, und von diesem auf einem beliebigen Wert zum Punkt \((x,y,z)\) läufst. Als Weg wähle z.B. eine Gerade:

$$\vec r(t)=\left(\begin{array}{c}r_x(t)\\r_y(t)\\r_z(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}xt\\yt\\zt\end{array}\right)\quad;\quad t\in[0;1]$$ Damit ergibt sich als Potential:

$$\Phi(x,y,z)=\int\limits_{(0,0,0)}^{(x,y,z)}\vec F(r_x,r_y,r_z)\,d\vec r=\int\limits_0^1\vec F(r_x(t),r_y(t),r_z(t))\,\frac{d\vec r}{dt}\,dt$$

$$\Phi(x,y,z)=\int\limits_0^1\left(\begin{array}{c}(yt)^2(zt)\\2(xt)(yt)(zt)\\(xt)(yt)^2+2(zt)^2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\,dt=\int\limits_0^1\left(xy^2zt^3+2xy^2zt^3+xy^2zt^3+2z^3t^2\right)\,dt$$

$$\Phi(x,y,z)=\int\limits_0^1\left(4xy^2zt^3+2z^3t^2\right)\,dt=\left[xy^2zt^4+\frac{2}{3}z^3t^3\right]_{t=0}^1=xy^2z+\frac{2}{3}z^3$$

Das noch verlangte Kurvenintegral würde ich nun nicht "zu Fuß" berechnen, sondern das Potential verwenden:

$$\int\limits_\gamma\left<\vec F,\vec ds\right>=\Phi\left(-1,0,\pi^2\right)-\Phi\left(1,0,0\right)=\frac{2}{3}\pi^6$$

von 18 k

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