Aufgabe zu Gradienten und Richtungsableitung

Question

Aufgabe:

Es sei die Funktion $f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}$ gegeben mit
$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{6}+x_{1}^{2}\right) \exp \left(x_{2} x_{3}^{2}-x_{1}+2023\right)+2023 .$
a)Berechnen Sie den Gradienten von $f$.

Ich habe folgende partielle Ableitungen:

$\begin{array}{l} f\left(x_{1}, x_{3}, x_{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{6}+x_{1}^{2}\right) e^{\left(x_{2} x_{3}^{2}-x_{1}+2023\right)}+2023 \\ f_{x_{1}}^{\prime}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{6}+x_{1}^{2}\right) \cdot 2 x_{1} \cdot e^{\left(x_{2} x_{3}^{2}-x_{1}+2023\right)} +\sin \left(\frac{\pi}{6}+x_{1}^{2}\right) \cdot e^{\left(x_{2} x_{3}^{2}-x_{1}+2023\right)} \cdot(-1) \ \\ f_{x_{2}}^{\prime}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{6}+x_{1}^{2}\right) \cdot e^{\left(x_{2} x_{3}^{2}-x_{1}+2023\right)} \cdot x_{3}^{2} \\ f_{x_{3}}^{\prime}\left(x_{1}, x_{21}, x_{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{6}+x_{1}^{2}\right) \cdot e^{\left(x_{2} x_{3}^{2}-x_{1}+2023\right)} \cdot 2x_{2} x_{3}\end{array}$

Ich bitte um Überprüfung, ob ich die partiellen Ableitungen richtig gerechnet habe.

b) Berechnen Sie die Richtungsableitung von $f$ im Punkt $(0,0,0)$ in Richtung
$d=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,1) .$
c) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung der Funktion
$\frac{f}{\exp (2023)}$

Zu den Teilaufgaben b) und c) folgt noch was.

Comments

b) $\nabla f_{(0,0,0)}=\left(-\frac{1}{2} e^{2023}, 0,0\right)$

Die Richtungsableitung lautet :

$D f_{(0,0,0)}(d)=\nabla f_{(0,0,0)} \cdot d=\left(-\frac{1}{2} e^{2023}, 0,0\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,1)=-\frac{1}{2 \sqrt{2}} e^{2023}$
Die Richtungsableitung von $f$ im Punkt $(0,0,0)$ in Richtung $d$ ist also $-\frac{1}{2 \sqrt{2}} e^{2023}$.

Answer 1

Hallo

bei f_x1 hast du einen Vorzeichenfehler, wegen -x1 ist der 2 te Term negativ

aber in (0,0,0) ist es richtig.

zum nachrechnen gibts auch Wolfram alpha oder andere Ableitungsrechner im Netz.

Gruß lul

Comments

Da steht doch $\cdot (-1)$ beim zweiten Summanden.

Also, die partiellen Ableitungen und die Richtungsableitung sind richtig.

Die Frage ist aber, wenn bei a) der Gradient gefragt ist, sollte der auch angegeben werden (und nicht nur die part. Abl.).

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Hallo

die -1 war bei mir über den rechten Bildrand weg. danke für die Korrektur.

Gruß lul

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Vielen Dank für eure Rückmeldungen.

Eine Frage zu c) ist mit f das

$\begin{array}{l}f\left(x_{1}, x_{3}, x_{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{6}+x_{1}^{2}\right) e^{\left(x_{2} x_{3}^{2}-x_{1}+2023\right)}+2023 \\\end{array}$

gemeint?

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Wird wohl, gibt ja nur ein $f$ in der Aufgabe.

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Gibt es eigentlich in diesem Falle irgendein einen Trick, wie man das ganze "kürzer" angehen kann? Ich habe jetzt von 9 Ableitungen erst 3 erledigt und es ist so viel Schreibarbeit.... Oder soll das so sein?

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Tja, ist mühselig. Wegen $\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}f =\frac{\partial^2}{\partial x_j\partial x_i}f$ treten aber "nur" 6 versch. Ableitungen auf.

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Danke, danke an alle. Ich habe nun alles lösen können.