Aufgabe:
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Aufgabe 11.1
(i) Beschreiben Sie die Menge
\( A:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq \frac{\pi}{2}, \quad x \geq|y|\right\} \)
in Polarkoordinaten .
(ii) Bestimmen Sie das Integral
\( \iint_{A} \cos \left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y \)
unter Verwendung der Polarkoordinaten und der Transformationsformel.
Aufgabe 11.2
(i) Beschreiben Sie die Menge
\( M:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: z \in[0,1], \quad x^{2}+y^{2} \leq z^{3}, \quad 0 \leq y \leq \frac{x}{\sqrt{3}}\right\} \)
in Zylinderkoordinaten \( x=\rho \cos \phi, \quad y=\rho \sin \phi, z \).
(ii) Bestimmen Sie das Integral
\( \iiint_{M} e^{\left(z^{4}\right)} d x d y d z \)
unter Verwendung der Transformationsformel und den Zylinderkoordinaten.
Aufgabe 11.3
(i) Sei \( C \subset \mathbb{R}^{3} \) die obere Halbkugel \( z \geq 0, \quad x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1 \) aus welcher der Kegel \( z>\sqrt{x^{2}+y^{2}} \) heraus gebohrt wird. Beschreiben Sie die Menge \( C \) in Kugelkoordinaten.
(ii) Bestimmen Sie das Integral
\( \iiint_{C} x^{2} d x d y d z \)
unter Verwendung der Kugelkoordinaten und der Transformationsformel.
Problem:
Ich habe weiterhin Schwierigkeiten, Mengen umzuformen, "herauszulesen", was ich an Informationen erhalten kann. Da ich nur so an die Integrationsgrenzen kommen, ist es also mitunter der wichtigste Part; mit Integration und Transformationsformel habe ich keine Schwierigkeiten.
Was ich soweit habe:
für 1) r∈[0, √(π/2)] und φ∈[7π/4, π/4]
Bin mir aber sicher, dass es falsch ist.
für 2) noch gar nichts, ich sehe es einfach nicht...
für 3) r∈[0,1] und φ∈[0, 2π] und θ∈[0, π/4]
Wäre nett, wenn sich jemad finden kann, der mir da hilft! :)
