Integral bestimmen mittels Transformation

Question

Hallo!

Es handelt sich um die folgende Aufgabenstellung:

Aufgabe:

Bestimme das Integral \( \int \limits_{\mathcal{B}} x^{2}+y^{2} \mathrm{~d}(x, y) \), wobei \( \mathcal{B} \) die Fläche der Einheitskreisscheibe im \( \mathbb{R}^{2} \) ohne die Kreisscheibe um den Nullpunkt mit Radius \( \frac{1}{2} \) ist. Durch Transformation auf Polarkoordinaten entspricht diese Fläche der Fläche \( \Psi\left(\mathcal{B}^{*}\right) \) mit \( \mathcal{B}^{*}=\left\{(\rho, \varphi) \mid \frac{1}{2} \leq \rho \leq 1,0 \leq\right. \) \( \varphi \leq 2 \pi\} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß ehrlich gesagt nicht wie ich hier vorgehen soll, da hier der Radius gegeben ist. Wie sieht hier die Rechnung aus? Könnte bitte jemand mit mir die Rechnung schrittweise durchgehen?

Answer 1

Aloha :)

Den Orstvektor \(\vec r\) zum Abtasten der Menge \(B\) bzw. \(B^\ast\) formulieren wir in Polarkoordinaten:$$\vec r=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\in\left[\frac12;1\right]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad dx\,dy=r\,dr\,d\varphi$$Das führt uns zu folgender Rechnung:$$I=\int\limits_B(x^2+y^2)\,dx\,dy=\int\limits_{r=\frac12}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}r^2\,r\,dr\,d\varphi=\int\limits_{r=\frac12}^1r^3\,dr\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi=\left[\frac{r^4}{4}\right]_{r=\frac12}^1\cdot\left[\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi}$$$$\phantom I=\left(\frac14-\frac{1}{64}\right)\cdot2\pi=\frac{15}{64}\cdot2\pi=\frac{15}{32}\,\pi$$

Comments

Super, vielen vielen Dank für die Erklärung!

Ich hätte noch eine Frage: hast du hier eigenltich die Determinante ausgerechnet? Denn oben ist sie nicht zu sehen. Zwar kommt da wieder r heraus, aber ich frage sicherheitshalber. Das r kommt schon von der Determinante, oder? Also ingesamt dann r^3*dr

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Ja, das \(r\) kommt von Determinante.

Der Wechsel der Koordinaten \((x;y)\to(r;\varphi)\) führt zu einer Verzerrung des Flächenelementes \(dx\cdot dy\) von einem Rechteck zu einem Tortenstück \(dr\cdot\,d\varphi\). Dadurch ändert sich die Fläche dieses Flächenelemtents:$$\frac{dx\,dy}{dr\,d\varphi}=\begin{vmatrix}\frac{dx}{dr} & \frac{dx}{d\varphi}\\[1ex]\frac{dy}{dr} & \frac{dy}{d\varphi}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\cos\varphi & -r\sin\varphi\\[1ex]\sin\varphi & r\cos\varphi\end{vmatrix}=r$$

Das Flächenelement in Poloarkoordinaten und das Volumenelment in Kugelkoordinaten kommen sehr oft vor, daher braucht man die nicht immer explizit auszurechnen. Das ist quasi Allgemeinwissen:$$dx\,dy=r\,dr\,d\varphi\quad;\quad dx\,dy\,dz=r^2\sin\vartheta\,dr\,d\vartheta\,d\varphi$$