0 Daumen
751 Aufrufe

Guten Morgen!

Es handelt sich um die folgende Aufgabenstellung

Aufgabe:

Bestimme das Integral B1x2+y2 d(x,y) \int \limits_{\mathcal{B}} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d}(x, y) , wobei die Fläche B \mathcal{B} mittels Transformation Ψ \Psi auf Polarkoordinaten durch Ψ(B) \Psi\left(\mathcal{B}^{*}\right) mit B : ={(r,ϕ)0ϕ2π,0rϕ} \mathcal{B}^{*}:=\{(r, \phi) \mid 0 \leq \phi \leq 2 \pi, 0 \leq r \leq \phi\} gegeben ist.


x=rcos(ϕ) x=r \cos (\phi)
y=rsin(ϕ) y=r \sin (\phi)
ψ(r,ϕ)=(x(r,ϕ)y(r,ϕ)) \psi(r, \phi)=\left(\begin{array}{l}x(r, \phi) \\ y(r, \phi)\end{array}\right)
(x,y)(r,ϕ)=det(cos(ϕ)rsin(ϕ)sin(ϕ)rcos(ϕ)) \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \phi)}=\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}\cos (\phi) & -r \sin (\phi) \\ \sin (\phi) & r \cdot \cos (\phi)\end{array}\right)
=rcos2(ϕ)+rsin2(ϕ)=r =r \cos ^{2}(\phi)+r \cdot \sin ^{2}(\phi)=r
SB1x2+y2d(x,y)=B1rrdrdϕ S_{B} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} d(x, y)=\int \limits_{B *} \frac{1}{r} \circ r \cdot d r d \phi
02π0ϕ1rrdrdϕ=02πr0ϕdϕ= \int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{0}^{\phi} \frac{1}{r} \cdot r \cdot d r \cdot d \phi=\left.\int \limits_{0}^{2 \pi} r\right|_{0} ^{\phi} d \phi=
=φ02πϕ= =\left.\varphi\right|_{0} ^{2 \pi} \cdot \phi=
=2πϕ =2 \pi • \phi


Problem/Ansatz:

Ich habe wieder mal einen Ansatz formuliert, aber kann der so stimmen? Habe ich hier einen Fehler eingebaut? Könnt ihr bitte mal einen Blick werfen und ggf. meine Fehler korrigieren?

Avatar von

Ist das hier tatsächlich der Bereich, über den du integrieren willst?

Will nur sicher gehen, bevor ich mir deine Rechnung mal durchschau :-).

Übrigens wäre es nett, wenn du nach dem Text-Scan erst einmal offensichtliche Fehler entfernst. Zum Beipsiel ist SBS_B wohl eher B\int_{\mathcal B} gewesen. Wir möchten uns auf die Mathematik konzentrieren und nicht auf Texterkennungsfehler.

Ups, sry, das habe ich gar nicht bemerkt. Aber ja, nächstest Mal kontrolliere ich genauer :)

3 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Dein Ergebnis muss falsch sein, weil es noch die Integrationsvariable φ\varphi enthält, obwohl du dafür Grenzen einsetzen sollst.

Du hast das Integral noch korrekt formuliert:I=φ=02π  r=0φdrdφI=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{r=0}^{\varphi}dr\,d\varphiDie obere Grenze vom rr-Intervall hängt von φ\varphi ab.

Daher musst du zuerst über drdr integrieren:I=φ=02π[r]r=0φdφ=φ=02πφdφ=[φ22]φ=02π=4π22=2π2I=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\left[r\right]_{r=0}^\varphi\,d\varphi=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\varphi\,d\varphi=\left[\frac{\varphi^2}{2}\right]_{\varphi=0}^{2\pi}=\frac{4\pi^2}{2}=2\pi^2

Avatar von 153 k 🚀

Super, vielen vielen Dank für die Erklärung!

Ich darf nur dann die Reihenfolge der Integration vertauschen, wenn wir zwei Integrale haben, die jeweils konstante Grenzen haben, richtig?

Wie müsste die obere Grenze vom r-Intervall sein, damit die Integrationen vertauschbar sind? Müsste beispielsweise eine Zahl (z.B.1) stehen, damit die Reihenfolge der Integration egal ist?

Und von was muss die obere Grenze von phi Φ abhängen, damit sie nicht mehr konstant ist? Was muss statt 2π stehen, damit es kein Normalbereich mehr ist. Irgendetwas mit r?

Du musst dir klar machen, was bei der Integration eigentlich genau passiert. In der Aufgabe hier lautet die Bedingung für die rr-Koordinate:0rφ0\le r\le\varphiDamit das Integral über drdr bestimmt werden kann, müssen die untere Grenze 00 und die obere Grenze φ\varphi fest sein. Die drdr-Integration wird also für ein fest gewähltes φ\varphi durchgeführt.

Das Ergebnis der drdr-Integration wird dann natürlich noch die Variable φ\varphi enthalten. Nun lässt du in der zweiten Integration die Variable φ\varphi über ihr Intervall [0;2π][0;2\pi] laufen und addierst so für jedes φ\varphi die in der drdr-Integration erhaltenen Ergebnisse.

Du kannst immer nur über eine Varibale integrieren und musst alle anderen Variablen während dieser Integration fest halten. Wenn die Integrationsgrenzen von anderen Variablen abhängen, kannst du die Integrations-Reihenfolgen nicht direkt tauschen, sondern musst dafür immer auch die Integrations-Intervalle anpassen.

Wenn du z.B. eine Fläche in (x;y)(x;y)-Koordinaten berechnest, kannst du zeilenweise (also yy festhalten und zuerst über xx integrieren) oder spaltenweise (also xx festhalten und zuerst über yy integrieren) vorgehen. In beiden Fällen musst du dir die Integrationsgrenzen für die jeweilige yy-Zeile bzw. für die jeweilige xx-Spalte überlegen.

Um in der konkreten Aufgabe hierφ[0;2π];r[0;φ]\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad r\in[0;\varphi]die Integrationsreihenfolge zu vertauschen, machst du dir zunächst klar, dass man r[0;2π]r\in[0;2\pi] wählen kann. Weiterhin muss aber gelten:0rφ    φr    φ2πφ[r;2π]0\le r\le\varphi\implies \varphi\ge r\stackrel{\varphi\le2\pi}{\implies}\varphi\in[r;2\pi]Das Integral lautet nun:I=r=02π  φ=r2πdrdφ=r=02π[φ]φ=r2πdr=r=02π(2πr)drI=\int\limits_{r=0}^{2\pi}\;\int\limits_{\varphi=r}^{2\pi}dr\,d\varphi=\int\limits_{r=0}^{2\pi}\left[\varphi\right]_{\varphi=r}^{2\pi}dr=\int\limits_{r=0}^{2\pi}\left(2\pi-r\right)drI=[2πrr22]r=02π=4π24π22=2π2\phantom{I}=\left[2\pi r-\frac{r^2}{2}\right]_{r=0}^{2\pi}=4\pi^2-\frac{4\pi^2}{2}=2\pi^2

0 Daumen

Ich meine, dass das so ganz OK ist.

Avatar von 289 k 🚀
0 Daumen

Die Variablentransformation ist dir gelungen.

Bei der Auswertung des Doppelintegrals gibt es aber ein Problem:

ϕ=02πr=0ϕ  dr  dϕ=ϕ=02π[r]0ϕ  dϕ=ϕ=02πϕ  dϕ=[ϕ22]02π=2π2\begin{array}{rcl} \int_{\phi=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\phi}\;dr\;d\phi & = & \int_{\phi=0}^{2\pi}\left[r\right]_0^{\phi}\;d\phi \\ & = & \int_{\phi=0}^{2\pi} \color{blue}{\phi} \;d\color{blue}{\phi } \\ & = & \left[\frac{\phi^2}{2}\right]_0^{2\pi} \\ & = & \boxed{2\pi^2} \end{array}

Avatar von 12 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage