Bestimmen Sie die SVD von B für

Question

Bestimmen Sie die SVD von $B$ für

$B=v v^{\top} \quad \text { mit } \quad v=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2} .$

Comments

Sicher, dass es sich nicht um die UVP von B handelt? Ich würde 35€ schätzen...

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Was ist SVD, schreib Abkürzungen immer aus!

lul

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Was ist ein "SVD" ? Ich war nicht in deiner Vorlesung.

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Vermutlich ist eine Singular Value Decomposition gemeint.
Finde eine Givens-Rotation, die die zweite Komponente von $v=(1,2)^\top$ nullt.
Dazu finde ein $x\in\R$ mit $\small\begin{pmatrix}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\\0\end{pmatrix}$ mit $r\in\R$.
Die zweite Zeile liefert $\sin x=2\cos x$. Wähle also $x=\arctan2$ und damit $\sin x=\large\frac2{\sqrt5}$ und $\cos x=\large\frac1{\sqrt5}$.
Die erste Zeile liefert dann $r=\sqrt5$.

Answer 1

$\begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix}$·(1  2)=$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$.

Comments

Und jetzt noch die SWZ davon

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Ich dachte, die SVD wäre gesucht... ;)

Answer 2

Die Matrix $B$ ist symmetrisch und hat die Eigenwerte 5 und 0. Sie ist damit mit einer Orthogonalmatrix $T$ diagonalisierbar. In $T$ stehen die Eigenvektoren zu den beiden Eigenwerten, diese sind automatisch orthogonal. D.h. die Matrix $T=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2& -1\end{pmatrix}$ erfüllt, dass $T\cdot T^T$ eine Diagonalmatrix ist. Damit $T$ orthogonal wird (also die eben erwähnte Diagonalmatrix die Einheitsmatrix wird) müssen nur noch die Spalten auf Länge 1 normiert werden, also mit Faktor $\frac1{\sqrt5}$ multipliziert. Mit $U:=\frac1{\sqrt5}T$ gilt dann: $U$ ist orthogonal und

 $U\cdot \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\cdot U^T=B$

und das ist die SVD. Übrigens ist $T$ und damit $U$ symmetrisch, also $U=U^T$.