Wenn die Ereignisse A,B,C stochastisch unabhängig sind, warum sind dann auch die Ereignisse A \cap B und C …

Question

Aufgabe:

Wenn die Ereignisse A,B,C stochastisch unabhängig sind, warum sind dann auch die Ereignisse $$ (A \cup B)$$ und C  stochastisch unabhängig?

Answer 1

(Gefunden hier: https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/unabhaengigkeit-von-mehr-als-zwei-ereignissen )

warum sind dann auch die Ereignisse $$ (A \cup B)$$ und C  stochastisch unabhängig?

Das Ereignis \(A \cup B\) hat die Wahrscheinlichkeit P(A)+P(B)-P(A∩B), und wenn A und B unabhängig sind wird das zu

P(A)+P(B)-P(A)*P(B).

Wenn nund auch die Ereignisse $$ (A \cup B)$$ und C stochastisch unabhängig sein sollen, muss

P((A∪B)∩C)=P(A∪B)*P(C)

bzw. P((A∪B)∩C)=(P(A)+P(B)-P(A)*P(B))*P(C)

gelten. Prüfe, ob sich das aus den oben zitierten 4 Ungleichungen ableiten lässt.