Berechnen Sie auch die zugehörige Verteilungsfunktion.

Question

Um die Verteilung der Fehlerrate $X$ in Festplattenlaufwerken zu beschreiben, wird folgendes Modell vorgeschlagen:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{c}{d}\left(\frac{d}{x}\right)^{c+1}, & \text { falls } x \geq d \\ 0, & \text { falls } x<d, \end{array}, \quad c>0, d>0 .\right.$
(a) Für welche $c$ ist obige Funktion die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsvariablen $X$ ? Berechnen Sie auch die zugehörige Verteilungsfunktion.
(b) Sei (nur in dieser Teilaufgabe) $c=1$ und $d=1$. Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Fehlerrate größer als 5 ist, unter der Bedingung, dass die Fehlerrate größer als 3 ist?
(c) Berechnen Sie den Erwartungswert $E X$ und die Varianz Var $X$ der Fehlerrate $X$. Hinweis: Fallunterscheidungen $c \leq 1$ und $c>1$ für $E X$, bzw. $c \leq 2$ und $c>2$ für $\operatorname{Var} X$ sind nötig.
(d) Berechnen Sie für $d=1$ den Median (das 50\%-Quantil) von $X$, d.h. berechnen Sie die Stelle $x$, für die $P(X \leq x)=0,5$ gilt, und die Stellen $x$, für die $P(X \leq$ $x)=0,75$ bzw. 0,25 gelten, und die Differenz dieser beiden Stellen, den sogenannten Interquartilsabstand IQR. Geben Sie den Median und den IQR von $X$ für $c=\frac{1}{2}$ an.

Answer 1

(a) Obige Funktion ist für die $c$ die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsvariablen, für die

        $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,\mathrm{d}x = 1$

ist.

Die zugehörige Verteilungsfunktion lautet

        $F_X(x) = \int_{-\infty}^x f(x)\,\mathrm{d}x$.

(b) Es ist

        $P(X>5 | X>3) = \frac{P(X>5 \wedge X>3)}{P(X>3)}$

laut Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit.

(c) Es ist

        $\operatorname{E}(X) = \int_{-\infty}^\infty x\cdot f(x)\,\mathrm{d}x$

und

        $\operatorname{Var}(X) = \int_{-\infty}^\infty (x-\operatorname{E}(X))^2\cdot f(x)\,\mathrm{d}x$

(d) Löse die Gleichungen

        $\begin{aligned}\int_{-\infty}^x f(x)\,\mathrm{d}x &= 0,5\\\int_{-\infty}^x f(x)\,\mathrm{d}x &= 0,25\\\int_{-\infty}^x f(x)\,\mathrm{d}x &= 0,75\end{aligned}$