Berechnen Sie auch die zugehörige Verteilungsfunktion.

Question

Um die Verteilung der Fehlerrate \( X \) in Festplattenlaufwerken zu beschreiben, wird folgendes Modell vorgeschlagen:

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{c}{d}\left(\frac{d}{x}\right)^{c+1}, & \text { falls } x \geq d \\ 0, & \text { falls } x<d, \end{array}, \quad c>0, d>0 .\right. \)
(a) Für welche \( c \) ist obige Funktion die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsvariablen \( X \) ? Berechnen Sie auch die zugehörige Verteilungsfunktion.
(b) Sei (nur in dieser Teilaufgabe) \( c=1 \) und \( d=1 \). Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Fehlerrate größer als 5 ist, unter der Bedingung, dass die Fehlerrate größer als 3 ist?
(c) Berechnen Sie den Erwartungswert \( E X \) und die Varianz Var \( X \) der Fehlerrate \( X \). Hinweis: Fallunterscheidungen \( c \leq 1 \) und \( c>1 \) für \( E X \), bzw. \( c \leq 2 \) und \( c>2 \) für \( \operatorname{Var} X \) sind nötig.
(d) Berechnen Sie für \( d=1 \) den Median (das 50\%-Quantil) von \( X \), d.h. berechnen Sie die Stelle \( x \), für die \( P(X \leq x)=0,5 \) gilt, und die Stellen \( x \), für die \( P(X \leq \) \( x)=0,75 \) bzw. 0,25 gelten, und die Differenz dieser beiden Stellen, den sogenannten Interquartilsabstand IQR. Geben Sie den Median und den IQR von \( X \) für \( c=\frac{1}{2} \) an.

Answer 1

(a) Obige Funktion ist für die \(c\) die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Zufallsvariablen, für die

        \(\int_{-\infty}^\infty f(x)\,\mathrm{d}x = 1\)

ist.

Die zugehörige Verteilungsfunktion lautet

        \(F_X(x) = \int_{-\infty}^x f(x)\,\mathrm{d}x\).

(b) Es ist

        \(P(X>5 | X>3) = \frac{P(X>5 \wedge X>3)}{P(X>3)}\)

laut Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit.

(c) Es ist

        \(\operatorname{E}(X) = \int_{-\infty}^\infty x\cdot f(x)\,\mathrm{d}x\)

und

        \(\operatorname{Var}(X) = \int_{-\infty}^\infty (x-\operatorname{E}(X))^2\cdot f(x)\,\mathrm{d}x\)

(d) Löse die Gleichungen

        \(\begin{aligned}\int_{-\infty}^x f(x)\,\mathrm{d}x &= 0,5\\\int_{-\infty}^x f(x)\,\mathrm{d}x &= 0,25\\\int_{-\infty}^x f(x)\,\mathrm{d}x &= 0,75\end{aligned}\)